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C Á L C U L O das C O N S T A N T E S E L E M E N T A R E S C L Á S S I C A S: |
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C Á L C U L O das C O N S T A N T E S E L E M E N T A R E S C L Á S S I C A S: |
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O NÚMERO PI PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. Apesar dessa antiguidade, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas; com efeito, PI é um dos poucos objetos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, que ainda continua sendo pesquisado . A maior parte dessas pesquisas centram-se no estudo das propriedades de PI e na invenção de novos métodos para cálcular seu valor, sendo que as divulgações desses resultados constituem uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa. Mas não é somente pesquisadores que sentem-se fascinados pelo PI; constantemente, os editores estão publicando livros dedicados inteiramente ao PI. Entre os os mais recentes, podemos destacar:
Costumamos definir PI como sendo a razao entre a circunferencia e o diametro de um circulo. Isso nos leva a questionar se sua descoberta realmente ocorreu no contexto de circulos. O Pi está mais naturalmente associado ao cálculo da circunferência do círculo, da área do círculo e ao volume da esfera, em termos dos respectivos raios ou diâmetros. Adiante explicaremos o que deve ser entendido por natural na frase acima; aqui, queremos apenas observar que o mais comum desses cálculos é o da área do círculo. Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida, vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos. PI está em todos os lugares ... o estudo de qualquer objeto matemático ou natural circular ou esférico, bem como o estudo de fenômenos envolvendo ação à distância ( como é o caso do estudo dos fenomenos gravitacionais e eletromagnéticos ) de um modo quase que inexorável acaba produzindo o PI. Exemplos sendo... Mas, também são frequentes ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações. EXERCICIO Pelo dito acima, e de esperar o aparecimento do PI em fomrulas do volume de cilindros e cones circulares retos. Contudo, como V. poderia explicar o apareceimtno do PI na formula do volume da piramide? EXERCICIO Se V. conhecer Calculo Infinitesimal, explique por que e' nao e' surpreendente que a area sob grafico da funcao y = 1/(1+x2), ao x variar de menos a mais infinito, valha PI. EXERCICIO Tanto a formula que expressa a forca gravitacional entre duas massas como a que da a forca entre duas cargas eletricas resultam de uma acao a distancia, sendo que em ambas a forca diminui inversamente ao quadradado da distancia. Procure explicar por que e' que uma delas envolve PI e a outra nao. |
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O CÁLCULO do PI Por que calcular o PI? Dada a ubiquidade do PI, conforme ja comentamos acima, e' mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Dada sua irracionalidade imprevisivel, jamais saberemos seu valor exato e entao a pergunta acima leva-nos a indagar: por que nao nos contentarmos com aproximacoes do PI? por que querer calcula-lo com um numero de casas decmais cada vez maior?
Por que é tão difícil calcular o PI? A primeira razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, com m e n inteiros, seu cálculo poderia O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A prova rigorosa desse fato, ou seja da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761. Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente. Rapido historico do calculo do PI?
A matematica dos metodos de calculo do PI |
versão: 25-fev-2 000
local desta página: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/aplicomp.html
© J. F. Porto da Silveira
permitida a reprodução, desde que com fins acadêmicos e não comerciais.
A figura no topo desta página é a "Morte de Archimedes" de Daumier c. 1850, em exposição no Museu de Budapest.
