Os jornais quase que diariamente trazem notícias sobre descobertas científicas e tecnológicas, o que faz com que qualquer pessoa medianamente informada esteja convencida do dinamismo dos diversos campos da Ciência e Tecnologia. Isso, certamente, não é o que ocorre com a Matemática. Sua natureza abstrata faz com que seja quase impossível divulgar seus frequentes avanços; o resultado é que a maioria das pessoas tende a achar que a Matemática é uma disciplina acabada, onde tudo já foi descoberto e há muito tempo atrás. É propósito desta página contribuir para retificar esse mal-entendido.



Atualizado em: 21 - mar - 2 001




Desafios matemáticos valendo sete milhões de dólares

O Clay Mathematics Institute,
sediado em Boston, organizou o Millenium Meeting que ocorreu, em maio de 2 000, na cidade de Paris. O objetivo desse encontro era celebrar a entrada do novo milênio, anunciando prêmios para a resolução de alguns problemas que tem grande chance de nortearem o desenvolvimento da Matemática no século XXI.

Foram selecionados sete problemas, a cada um sendo dotado um premio de um milhão de dólares pela resolução, de acordo com regras minuciosamente descritas e que podem ser consultadas no site da American Mathematical Society.

Esses problemas são bem conhecidos da comunidade matemática. Por ordem de antiguidade:

  1. Resolução das equações de Navier-Stokes ( c. 1830 )
  2. Hipótese de Riemann ( 1859 )
  3. Conjectura de Poincaré ( 1904 )
  4. Conjectura de Hodge ( 1950)
  5. Resolução das equações de Yang-Mills ( 1950 )
  6. Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer ( 1965 )
  7. Problema P versus NP ( 1971 )

Como seria de se esperar, vários desses problemas são de formulação bem técnica, em muito ultrapassando os conhecimentos de Matemática Elementar, o tema deste site.

Contudo, temos algumas exceções como é o caso de um dos mais antigos desses problemas: a Conjectura de Poincaré.
De um modo simplificado, ela afirma que todo objeto limitado, sem "buracos" e com fronteira lisa pode ser deformado continuamente numa esfera. É fácil verificarmos isso para o caso de objetos concretos do espaço euclidiano tri-dimensional, como caixas e cilindros fechados ( um exemplo de objeto NAO incluído na conjectura é uma xícara; com efeito é fácil vermos que o buraco envolvido pela alça NAO desaparece com deformações contínuas da xícara; vendo de outro modo: SE a xícara não tivesse alça seria fácil deformá-la até uma esfera ).
 A prova rigorosa - para o caso de três dimensões - foi dada próprio Poincaré. Contudo, mesmo depois de quase cem anos de esforços, ainda não se conseguiu fazer o mesmo para o caso de objetos do espaço euclidiano a quatro dimensões.

Outro aspecto interessante da lista é que inclui tanto problemas que parecem não ter nenhuma aplicabilidade, fora da Matemática, como problemas de imensa importância tecnológica. Por exemplo, o Problema "P versus NP" é de enorme relevância em campos que vão desde a Engenharia até a criptografia aplicada aos serviços militares e às transações comerciais e financeiras via Internet.

Esse problema, incidentalmente, é um outro que tem uma formulação fácil de ser entendida. De modo simplificado, ele pergunta se existem problemas matemáticos cuja resposta pode ser verificada em tempo prático ( por exemplo, em tempo polinomial ) MAS que não podem ser resolvidos ( diretamente, sem se ter um candidato à solução ) em tempo prático. Ilustrando: se alguém lhe disser que o número 13 717 421 pode ser escrito como o produto de dois outros inteiros, V. provavelmente demorará para provar isso; contudo, se lhe assoprarem que ele é o produto de 3 607 por 3 803, V. seria capaz de muito rapidamente verificar tal fato.

O problema "P versus NP" parte da constatação que são muito frequentes as situações em que parece ser muito mais rápido verificar solução do que achar um processo de resolução, e então pergunta: isso sempre ocorre, ou simplesmente ainda não descobrimos um modo de resolvê-los rapidamente?

Para uma discussão mais desenvolvida, mas ainda evitando tecnicalidades, sobre o Problema "P versus NP", V. pode visitar nossa página sobre o um outro problema clássico: O Problema do Caixeiro Viajante.





Grandes matemáticos discutem fronteiras da ciência no Rio

O Rio vai se tornar a capital mundial da ciência nos dias 12 e 13 de maio ( 1 999 ), por ocasião da Conferência Internacional sobre as Fronteiras da Matemática. O encontro será realizado no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), localizado na Rua Dona Castorina 110, Jardim Botânico. O evento está sendo patrocinado pela União International de Matemática, (IMPA) e pelo Ministério da Ciência e Tecnologia (MCT) ao qual o instituto está subordinado.
"Esta será uma oportunidade ímpar para brasileiros e latino-americanos, pois aqui estarão alguns dos maiores pesquisadores de matemática da atualidade. Eles vão discutir programas, projetos e conferências a serem desenvolvidos nos próximos dois anos em todo mundo. Além disso, farão palestas elucidativas para uma platéia, que esperamos chegar a uma 200 pessoas, sobre as suas áreas de competência", destaca o diretor do IMPA, Jacob Palis.
"Nós já estamos até preparando projetos conjuntos do IMPA com a União Internacional de Matemática. Um deles é a realização, talvez em julho ou agosto do próximo ano, do 1º Congresso Latino-americano de Matemática, aqui mesmo no Rio", adianta, sonhando com maior apoio das autoridades e por um aumento no intercâmbio entre os pesquisadores da América Latina.

Agenda inclui "teoria do caos"

Para a conferência prevista para maio, Palis destaca os principais temas a serem abordados. Um deles é sobre a Teoria do Caos. "Isso é importante, até filosoficamente, pois é quando se procuram respostas para o que vai acontecer no futuro, envolvendo graus de incertezas. Há quem diga que é fácil achar um ponto de equilíbrio futuro para tudo que estiver no mundo, o que não é verdade. A resposta não é tão simples como parece", explica.
Outro tópico a ser abordado é o de otimização, como, por exemplo, a melhoria implantada nos transportes em Berlim. Há o problema de visão (reconhecimento de imagens, via computação gráfica), considerado da maior importância para os matemáticos. 		Palis lembra também os estudos sobre geometria. "Isso tem a ver com a maneira como descrevemos objetos matemáticos no espaço, e suas aplicações na Física, como a Teoria da Relatividade", diz. Outro tema em análise será o dos modelos matemáticos.
"Os gregos acreditavam que todos os fenômenos da natureza (som, música e movimentos dos astros) poderiam ser modelados por equações matemáticas ( ou a Mecânica Celeste). Isso servia até para a dinâmica dos fluidos, caso dos rios e cachoeiras, em que, de repente, o movimento fica turbulento, como no caso de redemoinhos. Acontece que, às vezes, temos que ter respostas aproximadas para estes fenômenos, fato que também se liga à Teoria do Caos", assegura o diretor do IMPA.

Sete convidados muito especiais

Os nomes de sete convidados dão o tom do valor da conferência: V. Arnold, do Steklov Institut da Rússia. Ele é especialista em mecânica celeste e movimento dos astros, e faz pesquisas para descobrir se os planetas ficarão eternamente nas órbitas ou se podem vir a se descolar delas um dia delas; J. M. Bismut, da Universidade de Paris, falará sobre fenômenos da natureza com grau de incerteza, como transformações de água em gelo ou gás em água.
Outro representante aguardado é S. Donaldson, do Imperial College, da Inglaterra, que recebeu, em 86, a Medalha Fields, equivalente ao Prêmio Nobel, por seus trabalhos na área de geometria, sobre os quais falará no Rio. O sueco B. Engquist mostrará o uso do computador para aproximar soluções de respostas e problemas matemáticos, caso da dinâmica de fluídos e tomografias (que número é capaz de detectar um tumor, etc). M. Groetschel virá da Alemanha, onde é editor de nove jornais científicos, especialista em otimização, sendo o autor de um trabalho para melhorar o tráfego em Berlim, com o qual obteve o maior sucesso. Mais dois nomes importantes: o japonês S. Mori, da Universidade de Kyoto, vencedor da Medalha Fields em 1990, por classificar curvas e superfícies no espaço; e D. Mumford, da Universidade Brown, nos Estados Unidos. Ele também ganhou a Medalha Fields, por seu trabalho em computação gráfica.





Menina supera o RSA:
 ameaçado o padrão industrial e militar criptográfico

Esat Telecom Young Scientist of the Year é a maior feira de trabalhos científicos produzidos por alunos das escolas de ensino secundário na Irlanda. Neste ano de 1 999, participaram mais de 1 000 alunos de cerca de 200 escolas irlandesas e a feira teve dezenas de milhares de visitantes.
A grande notícia, contudo, foi o trabalho apresentado pela vencedora da competição: Sarah Flannery, de 16 anos.

Seu trabalho, intitulado "Criptography: a new algorithm versus RSA", tratava de matemática e era tão avançado que os organizadores da feira tiveram de convocar uma comissão de matemáticos de alto nível para julgá-lo. A comissão não só considerou corretos os resultados de Sarah como classificou seu trabalho como uma brilhante contribuição à Criptografia. A repercussão foi imediata: pelo mundo afora, as revistas de divulgação científica, e até mesmo os jornais diários, publicaram matérias sobre o trabalho da menina; inúmeras universidades ofereceram-lhe bolsas de estudo.

A Criptografia é uma das componentes tecnológicas viabilizando o mundo moderno. Seu grande salto ocorreu quando o sistema financeiro, de escala mundial a local, migrou para um modelo de negócios eletronicamente interconectados. Mas o desenvolvimento da Criptografia não ficou aí: para que sua chamada por telefone celular, sua operação bancária por terminal remoto, sua compra na Internet ou por cartão de crédito, a troca de informações militares e diplomáticas fiquem realmente confidenciais, inalteráveis e que se tenha condições de autorizar as mesmas via uma assinatura eletrônica é necessário que o destinatário receba a mensagem original "embaralhada" ( criptografada ou codificada ) de modo tal que só ele seja capaz de a "desembaralhar" ( decodificar ). Dentre os vários processos ou algoritmos criptografadores já inventados, o padrão industrial e militar é o codificador RSA ( inventado em 1977, no MIT, por Rivest, Shamir e Adelman ). Assim que fica fácil entender a importância do trabalho de Sarah, na medida em que ela apresentou um codificador com potencial para superar o RSA.

Sarah aprendeu cedo a gostar de Matemática pois seu pai é professor da disciplina no Cork Institute of Technology. Assistindo um curso de Criptografia dado pelo pai, Sarah 		entusiasmou-se pelo assunto e passou a estudar tanto seus aspectos teóricos como práticos, tendo feito estágios em empresas atuando na área de produtos criptográficos, como a Baltimore Technologies. Nessa companhia, foi orientada pelo matemático Michael Purser que a iniciou no estudo de um novo algoritmo criptográfico que inventara e que tinha esperanças de ser capaz de competir com o RSA.

O algoritmo de Purser, como o RSA, é um codificador com chave pública, o que o torna particularmente útil para comunicações e transações comerciais online, uma vez que permite que quem envia a mensagem ponha sua assinatura digital na mesma.
Os codificadores de chave pública são assim chamados pois que usam duas chaves, uma de conhecimento público e outra secreta ( de conhecimento só do transmissor e do receptor da mensagem ). Essas duas chaves podem ser vistas como duas funções onde uma é a inversa da outra, sendo que a chave pública é o que se diz uma função alçapão ( trapdoor function ), o que significa que é uma função fácil de avaliar mas muito demorada de se inverter. Os modos usuais de se construir funções alçapão exploram o fato que é rápido multiplicar dois números grandes, mas muito demorado fatorar um número grande.

Bem, o algoritmo de Purser usa uma função alçapão que é tão demorada de inverter quanto a do codificador RSA, mas muito mais rápida de avaliar do que a do RSA. O trabalho de Sarah foi provar matematicamente essa vantagem e criar uma implementação computacional ( um programa de computador ) muito eficiente para o algoritmo de Purser. Por exemplo, ela mostrou que usando uma chave pública de 1000 bits, seu programa era capaz de criptografar uma carta comercial típica em cerca de um minuto, versus quase meia-hora via o RSA.

A razão da vantagem do codificador de Sarah e Purser é que, enquanto o RSA usa exponenciação para codificar e decodificar as mensagens, seu codificador usa multiplicação matricial de matrizes 2x2 e cujos elementos estão no corpo dos inteiros módulo n, onde n é um produto de dois primos grandes. Disso decorre que, como Sarah provou, enquanto o tempo de codificação-decodificação do RSA cresce com o cubo do tamanho da chave pública, o tempo de seu codificador cresce com o quadrado do tamanho da chave pública.





A Conjectura de Kepler:
 anunciada a resolução do 18° problema de Hilbert

A origem dessa conjectura, que é tão velha e famosa como a de Fermat, esta' num livreto escrito em 1 611, onde Kepler ao estudar as maneiras de empilhar bolas de canhão, afirmou que:

o modo que leva à arrumação de máxima densidade com esferas de mesmo tamanho é o usualmente usado com as bolas de canhão, o qual consiste em dispô-las em camadas triangulares, colocando cada camada o mais ajustada o possível com a anterior.
Em linguagem moderna, Kepler acreditava que o reticulado cúbico de faces centradas ( ou seja, com vértices nas faces ) era a maneira mais eficiente, ou densa, de arrumarmos esferas de mesmo tamanho.



Após três séculos de tentativas de se provar essa afirmação, no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900, David Hilbert, o maior matemático de então, imortalizou esse problema ao colocá-lo na sua lista dos 20 grandes problemas que deveriam nortear as pesquisas matemáticas do século XX. A conjectura de Kepler passou a ser o décimo-oitavo problema de Hilbert:

Qual a maneira mais densa, no espaço, de arrumarmos um número infinito de sólidos iguais de uma dada forma, como esferas de raio dado? Ou seja: como podemos arrumá-los de modo que a razão entre o espaço ocupado e o espaço não ocupado assuma o maior valor possível?
( Hilbert's Problem 18, part C, 1900).


Bem, em agosto de 1 998, o Prof Thomas Hales, da Universidade de Michigan, anunciou a prova da veracidade da afirmação de Kepler. Para V. ver mais sobre esse problema e a o trabalho do Prof Hales, va' a seu site, clickando aqui.


Computação genética:
 prova de sua viabilidade

Uma das grandes tarefas do século XXI será a construção de novos paradigmas computacionais que transcendam a já quase exaurida capacidade dos computadores eletrônicos digitais. Isso nos permitirá resolver problemas científicos e técnicos de tratamento atualmente inacessível. Uma promissora possibilidade de novo paradigma computacional é a dos computadores genéticos.

Os genes dos seres vivos podem ser vistos como computadores processando a informação genética contida nas moléculas de DNA que os formam. Enquanto os computadores eletrônicos processam informação codificada em sequências de 0's e 1's, os genes processam informação ( genética ) codificada em sequências feitas com os quatro nucleotídeos que formam as moléculas de DNA: adenina, citosina, guanina e timina. Os genes podem ser vistos como um computador que trabalha com base=4, explorando as correspondências:

0 - adenina, 1 - citosina, 2 - guanina e 3 - timina.

O potencial computacional aí envolvido é enorme:

  • um kilograma de DNA armazena mais informação do que a soma de todos os computadores eletrônicos até hoje construídos
  • o processamento da informação genética é simultâneo e, então, muito mais rápido do que o processamento sequencial dos computadores eletrônicos; provavelmente, uma mera gotícula de DNA teria maior poder computacional do que o maior computador eletrônico que já foi construído
    (  alguns pesquisadores estimam que se conseguiria velocidades de cálculo até um milhão de vezes maior do que a dos atuais computadores eletrônicos )




A primeira pessoa conseguindo demonstrar na prática esse potencial foi Leonard Adleman, em novembro de 1994. Ele construiu um protótipo de computador genético para resolver o Problema do Caixeiro Viajante, na variante em que se tem sete cidades, quatorze caminhos e cidade final distinta da final.

A primeira tarefa de Adleman foi dar uma representação biológica para os dados do problema: as cidades e os caminhos entre cidades. 		Para tal, ele iniciou associando bijetoramente as cidades envolvidas à sequências com número fixo de nucleotídeos ( ele usou sequências com 20 nucleotídeos e em nossa ilustração abaixo usaremos, para simplificar, apenas 8 ). Para representar os caminhos entre pares de cidades, ele explorou um fenômeno básico que ocorre com os quatro nucleotídeos. Eles formam pares complementares, atraindo-se Guanina com Citosina e Adenina com Timina, sendo exatamente esses acoplamentos que dão origem ao conhecido formato de hélice dupla da DNA. Assim, para representar cada "caminho da cidade X até a cidade Y", Adleman usou técnicas laboratoriais para fazer o acoplamento da segunda metade da sequência de de nucleotídeos da cidade X com a primeira metade da sequência de Y e então fabricar a sequência complementar desse acoplamento. Exemplificando, se X=ACGAGTTG e Y=AGCTCAGG então o caminho de X para Y fica: GTTG + AGCT = GTTGAGCT ---> CAACTCGA. Observe e verifique que as atrações de pares complementares é quem justifica usarmos a sequência CAACTCGA como representante do caminho da cidade X para a cidade Y.

As sequências das cidades X e Y, por força da atração complementar, juntam-se - como chaves em fechaduras - com a sequência do caminho de X para Y formando uma "sequência hibridizante".

Conseguida a representação genética dos dados do problema do caixeiro, veio a segunda e mais difícil tarefa de Adleman: fazer com que a informação associada ao problema fosse processada geneticamente e assim obter o caminho ótimo desejado. Para conseguir isso, ele precisou usar dezenas de procedimentos laboratoriais que consumiram uma semana. Esses iniciaram com a ligação das sequências hibridizantes ( de modo a obter rotas passando por todas as cidades ), continuaram com a separação das rotas legítimas (  as que iniciavam na primeira cidade e terminavam na última, e, ademais, passavam exatamente uma vez por cada outra cidade ), e terminaram com a determinação da rota minimal.

O trabalho de Adleman foi apenas um primeiro passo, sendo que ainda existem muitos obstáculos a vencer antes de se conseguir tornar a computação genética prática no trabalho científico. Por exemplo, para poder garantir que as DNA hibridizantes seriam capazes de gerar todos os possíveis caminhos, ele precisou usar cerca de um trilhão de cópias da sequência de cada cidade e da sequência de cada caminho entre pares de cidades. Isso faz com que, para resolver o problema do caixeiro com 200 cidades e pelo método de Adleman, seja preciso uma quantidade de DNA pesando mais do que nosso planeta. Outras dificuldades importantes são a demora e os erros dos procedimentos laboratoriais envolvidos. De qualquer modo, só o tempo dirá se os cientistas e matemáticos, já trabalhando na computação genética, conseguirão remover esses obstáculos.

REF.:
Leonard Adleman, Molecular computation of solutions to combinatorial problems. Science 266, 1021-1024 (1994)






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