A Trigonometria nasceu c. 300 AC entre os gregos, para resolver problemas de Astronomia Pura . Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolemaios 150 dC o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou, c. 400 dC, para a India onde era usada nos cálculos astrológicos ( ainda eram problemas de Astronomia ). Por cerca de 800 dC ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Por cerca de 1 100 dC a Trigonometria chegou, junto com os livros de Ptolemaios, na Europa Cristâ. Aí, inicialmente estudada tão somente por suas aplicações na Astronomia, com os portugueses da Escola de Sagres encontra uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica.

Todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante se observar que, por c. 1600 dC, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no segundo grau.

Como a grande maioria dos livros insiste em querer colocar a origem e desenvolvimento da Trigonometria nos problemas de cálculo de distâncias entre pontos sobre a superfície da Terra, vejamos exemplos de como os agrimensores e topógrafos do passado resolviam seus problemas. Suas técnicas eram baseadas no uso da semelhança de triângulos:

EXEMPLO 1

Determinação da altura h de uma montanha usando duas sombras de uma vareta de comprimento v.

Da primeira sombra: h : v = d : s₁.
Da segunda: h : v = ( d + e + s₂ ) : s₂.
Daí se obtém:

EXEMPLO 2

Cálculo da profundidade p de um buraco ( poço, ravina, etc ) usando uma vareta de comprimento v.


da primeira posição da vareta obtemos: p : R = v : s₁
e da segunda posição ( beirada do buraco ) : p : ( R - s₂ ) = v : s₂, de modo que, após eliminar o R, conseguimos:

A fim de obter coordenadas dos pontos de uma região na superfície da Terra, Snell, que é mais conhecido pela lei da refração, introduziu a idéia de triangulação. Essa consiste no seguinte:

• cobrimos a região com uma cadeia de triângulos de vértices A, B, C, etc escolhidos de modo que cada um, C por exemplo, seja visível desde os dois precedentes ( A e B no exemplo ) e dos dois seguintes ( D e E no exemplo). Tipicamente esses vértices são escolhidos em topos de montanhas, torres de igrejas e outros pontos de fácil visualização.
• medimos com exatidão o comprimento do lado AB, que é chamado base e que preferivelmente deve estar sobre um terreno plano para facilitar as medidas
• medimos todos os ângulos dos triângulos da cadeia
• a partir da lei dos senos e da base e ângulos medidos, calculamos o comprimento de todos os lados dos triângulos da cadeia
• usando-se Astronomia, calculamos as coordenadas ( latitude e longitude ) de um dos vértices e medimos o ângulo ( chamado azimute ) que um dos lados faz com a direção norte. Com todas essas informações, calculamos as coordenadas dos demais vértices.

Foi só a partir de cerca de 1 750 que começou a se tornar coisa comum se usar triangulações geodésicas para a feitura de mapas de municípios, estados a até continentes, e a se usar as triangulações topográficas para o mapeamento de áreas menores (diâmetro menor do que 20 Km). Até então o uso das triangulações se restringia a trabalhos de natureza mais científica do que técnica. Com efeito, os primeiros usos das triangulações ocorreu na determinação do comprimento de um arco de meridiano para assim obter o tamanho da Terra.
A primeira dessas medidas de meridiano foi feita pelo próprio Snell, o qual usou uma pequena modificação da versão clássica de triangulação, descrita acima. Expliquemô-la com o exemplo da figura ao lado, que usa uma cadeia de 7 triângulos :

A base é AB e CD é o lado do qual medimos o azimute. Após calcular os lados dos triângulos da cadeia, um novo uso de Trigonometria Esférica nos dá o comprimento das projeções desses lados sobre o meridiano e isso nos permite obter o comprimento do arco xy em Km. Tendo determinado a latitude dos vértices extremos, A e I, temos a amplitude de xy em graus. Daí, um cálculo simples nos dá quantos Km mede um arco de um grau na superfície terrestre e então a circunferência da Terra.

Snell usou uma cadeia de 33 triângulos e acabou fazendo um erro de 3.4%, para menos. Em 1 669, Picard usou uma cadeia de 13 triângulos para refazer a medida do meridiano. Obteve para diâmetro da Terra 12 554 Km, o que dá erro de 1.6%.

O século dos 1 700 foi o século do grande desenvolvimento da Trigonometria em ordem a viabilizar e facilitar os cálculos de triangulações topográficas e geodésicas. Contudo, as técnicas aí desenvolvidas não tinham condições de atenuar o efeito dos inevitáveis erros de medida, o que acabava comprometendo a qualidade dos mapas de maior tamanho.

A introdução do tratamento dos erros de observação na Geodésia e na Topografia, aumentando em muito a exatidão do trabalho dessas disciplinas, só ocorreu com o famoso matemático Gauss c. 1 820. A maioria das pessoas o conhecem como matemático puro e desconhecem que ganhava seu sustento como matemático aplicado.
No início do século passado, durante as guerras napoleônicas, Gauss foi ordenado por Napoleão a fazer um mapa de grande precisão da região de Hannover, Alemanha. Para levar a cabo sua missão, Gauss acabou desenvolvendo uma série de resultados matemáticos ( teoremas sobre a distribuição normal ou gaussiana, o método da regressão linear, etc ) para poder controlar o efeito dos erros de observação nos levantamentos geodésicos, bem como renovou ( com cuidados relevantes às necessidades de alta exatidão em Geodésia ) as técnicas de resolução dos triângulos e os métodos geodésicos tradicionais. Por exemplo, boa parte da determinação das coordenadas geográficas de marcos do interior do Brasil, pelo Serviço Geográfico do Exército, foram feitas usando o Método de Cálculo da Latitude de Gauss.