O resultado básico é um dos mais importantes teoremas da Matemática, o

Teorema de Fourier ( 1 820 ) Sendo y = y( t ) uma função periódica de período fundamental T e escrevendo w = 2 / T , então ( sob condições que na prática sempre são verificadas e assim nem as explicitaremos ) esse sinal pode ser escrito como uma soma de senóides, chamada série de Fourier :

Normalmente, essa soma envolve uma quantidade infinita de senóides. Para obter o valor numérico dos parâmetros ( os R's e os thetas ) dessa série, é conveniente calcular quantidades auxiliares, A_n , B_n , do seguinte modo:

finalmente, para obter os R's e thetas, resolvemos as seguintes equações:

EXEMPLO
O teorema acima não é uma completa novidade. Com efeito, um caso muito particular seu corresponde às conhecidas fórmulas de linearização, da Trigonometria Elementar:

sen² t = 1/2 - 1/2 cos 2t = 1/2 - 1/2 sen ( 2t + / 2)
sen³ t = 3/4 sen t - 1/4 sen 3t
sen⁴ t = 3/8 - 1/2 cos 2t + 1/8 cos 4t = 3/8 - 1/2 sen ( 2t + / 2 ) + 1/8 sen ( 4t + / 2 )
etc, etc.

A genialidade de Fourier está em perceber que ele continua valendo para funções que, aparentemente ao menos, nada tem a ver com senos e co-senos e são apenas periódicas.

Obtenção de respostas naturais desses sistemas


Respostas naturais de um sistema dinâmico são as que dá quando não há excitação ou input nenhum atuando sobre o mesmo. O exemplo clássico é o do oscilador harmônico simples, quando oscila unicamente por suas características inerciais e elásticas, sem sofrer a ação de nenhuma força externa.
O modelo matemático das oscilações naturais do oscilador harmônico simples é a equação diferencial :

onde m é sua massa, k sua constante elástica e y = y(t) dá a elongação das oscilações em termos do tempo. Se as oscilações iniciam de uma elongação inicial y(0) = y₀ e com uma velocidade inicial y'(0) = v₀, então mostra-se que:

O uso das funções trigonométricas continua sendo essencial na análise de sistemas dinâmicos mais complicados e que tenham comportamento oscilatório ( periódico, oscilatório amortecido ou oscilatório explosivo ). Esse tipo de análise é fundamental na Engenharia, Física, Biomedicina, etc.

Obtenção de respostas excitadas desses sistemas

O que vamos dizer a seguir aplica-se ao caso dos sistemas dinâmicos estáveis, que estão entre os de maior interesse nas aplicações na Engenharia. O estável significa que todas as respostas naturais do sistema são transitórias, ou seja : sua magnitude tende a zero ao tempo ir para o infinito.
Esses sistemas tem uma notável propriedade:

Mais precisamente, quando excitados pelo input I = sen wt, eles produzem um output da forma

y = R( w ) sen ( wt + ( w ) )

mais uma parcela transitória, que depende das condições iniciais do sistema, mas que é irrelevante a longo prazo.
As funções R = R( w ) e = ( w ) podem ser achadas tanto analiticamente como a nível de laboratório. Tendo-as, podemos usar o Teorema de Fourier para obter a resposta ( output ) do sistema quando excitado por qualquer input periódico de período fundamental T. Com efeito, supondo o sistema também seja linear ( para que possamos dizer que o output associado a uma soma é a soma dos inputs ), pelo tal teorema, o output será: