Es la argumentación un obstáculo?
Invitación a un debate

Nicolas Balacheff
Laboratoire Leibniz
Grenoble, France

El primer diagnóstico acerca de cuáles podrían ser los orígenes de la dificultad para enseñar y aprender la demostración en matemáticas ha sido formulado en términos de la naturaleza del contrato didáctico que emerge naturalmente de las posiciones del alumno y el docente con respecto a los saberes en juego. Dado que el docente es el garante de la legitimidad y de la validez epistemológica de lo que se construye en la clase, eso parecería implicar que el alumno se vería privado de un acceso auténtico a una problemática de la verdad y de la prueba. La superación de esta dificultad inherente a los sistemas didácticos puede ser investigada en situaciones que permiten la devolución a los alumnos de la responsabilidad matemática sobre sus producciones, lo que significa la desaparición del docente de los procesos de toma de decisión durante la resolución de un problema en favor de un esfuerzo de construcción de medios autónomos de prueba por parte de los alumnos.

La argumentación:
Una problemática que surge del estudio de la interacción social

La interacción social entre los alumnos se manifiesta claramente como un instrumento potente que sirve para favorecer los procesos de devolución a los alumnos de la responsabilidad matemática sobre la actividad y las producciones de ellos. Tanto es así que la interacción social ha llegado a ser considerada por algunos como la mejor respuesta a los problemas planteados. La retórica de quienes mantienen tal postura se articula alrededor de la idea de que el relegamiento del docente al rol de guía o animador de los aprendizajes abre el camino, como consecuencia de tal paso al costado, a una auténtica construcción de conocimientos.
   Tanto yo como otros investigadores hemos estudiado esas situaciones durante los años 80. Los trabajos de aquella época me parecen haber confirmado el caracter productivo y esencial de la interacción social, sin embargo esos trabajos tambien, y sobre todo, revelaron que por su misma naturaleza estos tipos de interacción fomentan procesos y comportamientos sociales que se oponen a la construcción de una problemática matemática, o en general científica, de la prueba por parte de los alumnos. Estos procesos y comportamientos podrían organizarse en el seno de un mismo tema de referencia, a saber la cuestión de la argumentación. En aquel entonces, a modo de apoyo de la conjetura didáctica según la cual una problemática de la argumentación vendría a oponerse a una problemática matemática de la prueba, yo cité las proposiciones que surgen de los trabajos de Perelman, en particular:

"mientras que la demostración, bajo su forma más perfecta, es una sucesión de estructuras y de formas cuyo desarrollo no puede recusarse con éxito, la argumentación tiene un carácter no restrictivo. La argumentación deja al autor en una disyuntiva, en una duda, le da la libertad de elegir; aún cuando la argumentación propone soluciones racionales, ninguna de ellas necesariamente lo obliga" (Perelman, 1970, p. 41, traducción del francés)

Aun sin llegar al extremo de una concepción de la demostración "en su forma más perfecta," lo que haríamos si tomáramos el punto de vista de la práctica de los matemáticos, existe una oposición fundamental en lo que hace a como esos dos géneros de discurso contribuyen a una problemática de la validación. Esta oposición afecta tanto la cuestión de la prueba como la de la refutación, un hecho que suele pasarse por alto. En ese sentido, el tratamiento ad hoc de contraejemplos por parte de los alumnos, como lo ilustran varios estudios experimentales, sugiere que los contraejemplos se ven como objeciones más que como refutaciones que indican una contradicción.

La argumentación:
Una problemática que surge del estudio de las producciones verbales

Las relaciones entre la argumentación y la demostración han sido estudiadas desde perspectivas cognitivas y linguísticas en el pasado. Hace falta entonces explorar la complejidad cognitiva de cada género, la relación al conocimiento que cada género implica o favorece, apoyando tal estudio sobre los análisis de texto y de los usos de la lengua. Para situar la problemática de tal aproximación, tomando prestada una idea de Jean-Blaise Grize: argumentar es sin duda una actividad con propósitos, pero es una actividad discursiva (donde el discurso sin embargo es concebido como una actividad social).
   La argumentación y la demostración se ven menos distinguidas de acuerdo con el género de los textos que les corresponden&emdash;Raymond Duval indica que la distancia discursiva entre ellos es frágil&emdash;que de acuerdo con el status y el funcionamiento de los enunciados, y por lo tanto de acuerdo con el funcionamiento del saber puesto en juego. La argumentación, dado que su funcionamiento parece surgir naturalmente de prácticas ordinarias de discurso no permite la identificación de las modificaciones en status y en funcionamiento de los conocimientos, modificaciones requeridas por el trabajo matemático, y como contrapartida la modificación del funcionamiento del discurso mismo.
   El examen de las relaciones entre la argumentación y la demostración en esta aproximación centrada sobre el análisis del discurso me parece una manera de consolarse de los efectos de la conjetura de que hay una relación de conflicto entre los dos géneros tan pronto como uno toma la perspectiva del aprendizaje de la matemática. Raymond Duval concluye que "el desarrollo de la argumentación aun en sus formas más elaboradas no abre los ojos hacia la demostración. Un aprendizaje específico e independiente es necesario en lo que concierne al razonamiento deductivo" (utilizando aqui, equivocadamente en mi opinion, razonamiento deductivo como sinónimo de demostración). Duval concluye que la demostración requiere un aprendizaje "específico e independiente."

Sin embargo, el estudio naturalista de las interacciones en la clase, tal como lo realizan Paul Cobb y su equipo, sugiere la posibilidad de una argumentación matemática a la cual los alumnos accederían mediante la práctica de discussiones reguladas por normas sociomatemáticas (sociomathematical norms) que emergerían de las interacciones entre el docente y los alumnos (el docente es visto como un representante de la comunidad matemática). En esta aproximación, la construcción de una racionalidad matemática (la demostración no se enseña como tal) y la argumentación están estrechamente ligadas.

Diferentes concepciones teoricas de la argumentación

La diversidad que podemos percibir en las problemáticas de la argumentación y de sus relaciones con las matemáticas, en particular con la demostración, es debida fundamentalmente, segun entiendo, a diferencias profundas entre los problemas teóricos de investigación en esa area. No haré aqui un análisis de las diversas problemáticas de la argumentación, sino que apoyándome en la síntesis propuesta por Christian Plantin en sus Ensayos sobre la argumentación, trataré de dar una idea de la importancia de tomar en cuenta esta diversidad. Tres autores, dado el contraste entre sus problemáticas y su distancia, pueden ser usados para establecer un sistema de referencia con respecto a los cuales uno puede situar los trabajos sobre la argumentación: Chaïm Perelman, Stephen Toulmin y Oswald Ducrot.
   Siguiendo a Perelman se considera que la argumentación se caracteriza menos por la consideración de su objeto que por la consideración de su auditorio; la argumentación no busca tanto establecer la validez de un enunciado como obtener la adhesión del auditorio. Tomando la expresión de Plantin, en esta concepcion de la argumentación, un enunciado tiene un valor de razon, hasta de verdad, tan pronto como un individuo lo acepta.
   Toulmin, en contraste, relaciona la validez de un enunciado primeramente a la estructura del discurso (su racionalidad) que la defiende y entonces hace que aquella validez fundamentalmente dependa de la validez de las premisas en el seno de una comunidad (de un dominio) de referencia donde la validez de estas premisas se establece de acuerdo a algunas reglas.

"[Una argumentación], es la exposición de una tesis controvertida, el examen de sus consecuencias, el intercambio de pruebas y buenas razones que la sostienen, y una clausura bien o mal establecida."

Independientemente de los dominios [de conocimiento], el discurso argumentativo se organiza según un modo ternario que permite el paso de datos hacia una conclusión bajo el control frecuentemente implícito de una "habilitación para inferir" (a este esquema pueden agregársele indicadores de fuerza o de restricción que permitan tomar en cuenta una posible incertidumbre a propósito de la inferencia).
   Ducrot coloca la argumentación en el centro de la actividad de hablar. Como lo subraya Plantin, "en esta problemática, no se puede no argumentrar." La estructura de la sucesión de argumentos juega un rol determinante: la fuerza de un argumento no vendrá ni de sus características "naturales" ni de sus características racionales, sino de su lugar en el enunciado. Es mediante la estructura que se significa, que se muestra una orientación que permite recibir "R como el objetivo intencional de P," o "R como una consecuencia posible de P." El análisis de los nexos (palabras que ligan el texto) tiene en la postura de Ducrot una importancia particular puesto que son ellos los que ponen las piezas de información contenidas en un texto al servicio de su intención argumentativa global. La polifonía de los nexos, finalmente, permite poner en escena en el discurso no solamente al locutor sino tambien su protagonista potencial, "P pero Q" sugiere un sujeto que adhiere a P y ante quien el locutor objeta Q.

Es preciso indicar que la referencia a una u otra concepción de la argumentación puede hacernos adoptar una posición diferente en lo que atañe a qué puede representar la argumentación en la práctica de las matemáticas, en particular teniendo como objetivo su enseñanza y en relación con la demostración. Si uno se alinea con Toulmin parecería posible imaginar una solución de continuidad de la argumentación a la demostración; y por qué no considerar a la demostración como un género argumentativo particular (yo ignoro si Toulmin establece la oposición entre argumentación y demostración que los otros enfoques subrayan). Como contrapartida, la existencia de tal solución de continuidad parece dudosa si uno se alinea con las proposiciones de Perelman o Ducrot.

Los riesgos de reconocer una argumentación matemática

Mi postura en este momento en que reflexiono al respecto me llevaría a considerar que en la argumentación hay un doble movimiento de persuasión y de prueba. Si bien uno puede dudar en ciertas disputas en las cuales la buena fe no implica rigor, uno puede en contraste suponer que dentro de una perspectiva científica deben de excluirse la traición y la mentira (una suposición ideal sin la cual nuestro objeto mismo perdería todo sentido).

• La argumentación pretende llevarse la adhesión de un auditorio, pero implica ello decir junto con Perelman que la argumentación no es nada más que aquello?
• La argumentación tiene un objeto, la validez de un enunciado. Pero las fuentes de la competencia argumentativa se encuentran en la lengua natural y en prácticas donde las reglas son frecuentemente de una naturaleza profundamente diferente a lo que requieren las matemáticas, prácticas que están profundamente marcadas por los interlocutores y sus circunstancias. En este sentido, yo estaría dispuesto a decir que los marcos teóricos de Toulmin y Ducrot, de maneras menos radicales que Perelman, aun otorgan un lugar central a las regulaciones sociales y pragmáticas. Ahora bien, si uno postula la sinceridad de los interlocutores en el campo de las prácticas científicas, la argumentación debera satisfacer las condiciones de entrada en una problemática del conocimiento que implique la descontextualización del discurso, la desaparición del actor y del tiempo. Estas condiciones se oponen a la naturaleza profunda de la argumentación, cualquiera sea la problemática a la que uno la quiera asociar.

Yo afirmaré entonces que no hay tal argumentación matemática en el sentido frecuentemente sugerido de una práctica argumentativa en matemáticas que se caracteriza por estar libre de algunas de las restricciones que pesan sobre la demostración. Esto no significa sin embargo que todo discurso matemático que busque establecer la validez de un enunciado haya siempre tenido y pueda siempre tener las características de una demostración. Es una riqueza de las lenguas romances lo que nos permite distinguir entre prueba y demostración, imponiendo a la primera las exigencias ligadas a la participación en la construcción de una obra de conocimientos, sin por otra parte someterla a las exigencias formales de la segunda.
   Si bien no hay argumentación matemática, existe sin embargo una argumentación en matemáticas. La resolución de problemas, en la cual se podría decir que todas las movidas son permitidas, es un lugar donde pueden desarrollarse prácticas argumentativas que retoman medios operativos provenientes de otras areas (metáfora, analogía, abducción, inducción, etc.) que deberán desaparecer al momento de la construcción de un discurso que sea aceptable según las reglas propias de las matemáticas. Resumiré en una expresión sintética el lugar que yo veo posible para la argumentación en matemáticas, a tono con el sentido del concepto de la unidad cognitiva de los teoremas desarrollado por los colegas italianos:

Una consecuencia que algunos podrán juzgar catastrófica es que de manera similar a la resolución de problemas, la argumentación se resiste a toda tentativa de enseñanza directa (por supuesto, yo no confundo aqui el aprendizaje de la argumentación y el aprendizaje de la retórica).

La argumentación:
Un obstáculo epistemológico para el aprendizaje de la demostración

A modo de conclusión de este breve ensayo, desde el punto de vista del aprendizaje, yo no sostengo ni la tesis de continuidad ni la tesis de ruptura entre argumentación y demostración (o prueba en matemática); prefiero proponer que se reconozca la existencia de una relación compleja y constitutiva del sentido de cada una de ellas: la argumentación se constituye en obstáculo epistemológico al aprendizaje de la demostración, y más generalmente de la prueba en matemáticas.
   Comprender la demostración implica construir una relación particular al conocimiento como aquello que esta en juego en una construcción teórica, y por lo tanto implica renunciar a las libertades que uno podría tomarse, personalmente, en el juego de la argumentación. Dado que este movimiento hacia la racionalidad matemática no puede lograrse salvo si se toma conciencia efectiva de la naturaleza de la validación en matemáticas, se provocarán al mismo tiempo la construcción de la argumentación y de la demostración. La argumentación en las prácticas ordinarias es espontánea, nos dicen los que trabajan en el análisis del discurso. Desarrollada en los intercambios familiares, en el patio de la escuela, en circunstancias variadas y frecuentemente inocentes, la competencia argumentativa del alumno está hecha a la medida de las prácticas familiares: va de suyo. La clase de matemáticas es uno de los lugares donde la existencia de aquella práctica puede descubrirse pues de pronto ella se manifiesta inadecuada (pero las situaciones que logran este efecto son difíciles de construir). A mi modo de ver sería un error de carácter epistemológico dejar creer a los alumnos, en una suerte de efecto Jourdain, que ellos son capaces de producir una prueba cuando no han hecho otra cosa que argumentar.

Finalmente, un asunto que no he atacado pero que no puede olvidarse, una diferencia importante que separa la argumentación de la demostración es la necesidad de la segunda de existir en relación a una axiomática explícita. Puede ser debido a que la época de las matemáticas modernas a dejado demasiados malos recuerdos, la idea de ligar demostración y axiomática parece frecuentemente suscitar inquietudes y a veces una oposición cerrada, pero sin embargo, se podrá evitar esa asociación por mucho más tiempo sin reducir la demostración a una retórica particular y las matemáticas a un juego de lenguaje?

Algunas lecturas

Ducrot O. (1980) Les échelles argumentatives. Paris : les éditions de Minuit.

Duval R. (1991) Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration. Educational Studies in Mathematics 22(3) 233-261.

Duval R. (1992) Argumenter, démontrer, expliquer : continuité ou rupture cognitive ? Petit X 31, 37-61.

Perelman Ch. (1970) Le champ de l'argumentation. Bruxelles : Presses Universitaires.

Plantin C. (1990) Essais sur l'argumentation. Paris : Editions Kimé.

Yackel E, Cobb P. (1996) Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education 27(4) 458-477.