P E N S A M E N T O    A L G O R Í T M I C O:
A T I V I D A D E S  de  N Í V E L   P R I M Á R I O

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atividades propostas:

1. Um problema clássico de otimização: achar cercado de área máxima
2. Outro problema de otimização: maximizando o lucro
3. Resolvendo uma equação clássica: ( aguarde )
4. Um problema de máximo divisor comum ( aguarde )

ATIVIDADE 1
Temos uma corda com 100 metros de comprimento. Quais sao os lados do maior terreno retangular que poderemos demarcar com essa corda?

Solução:

sendo x e z os lados do retângulo, evidentemente 2x + 2z = 100 e daí: x + z = 50. O que se quer saber é o máximo da área e ela é y = xz. Como x e z estão relacionados por x + z = 50, posso escrever a área y em termos de uma única variável, por exemplo, de x:

y = xz = x ( 50 - x )

Resta achar o x onde y tem valor max. Vejamos como fazer isso de dois modos:

1. MODO INGENUO:
   
   faço tabela dos y, para x variando de x = 1 até x = 50 ( basta ir só até 50, pois x e z são positivos e sua soma vale 50 ).

                    x       y
                  ------------
                    1       49
                    2       96
                   etc     etc
                   23       ?
                   24       ?
                   25       ?
                   26       ?
                   etc
          

   
   
   Bem, é aqui que inicia seu trabalho:
   deixo para V. completar a tabela e observar que os y vão crescendo até x=25 e depois passam a diminuir. Para isso, execute o ALGORITMO abaixo:
   
   

   ALGORITMO : -para x variando de x = 0 ate' x = 50, com passo 1: -calcule y ( x ) -escreva na tabela o valor de x e do respectivo y -ache o maior y tabulado

   
   

   Certamente, V. deve ter visto que ymax ocorre perto de x = 25. Para entender melhor o que ocorre na vizinhança do x = 25, faça uma tabela com passo menor, por exemplo passo = 0.1, e com x variando de x = 24 a x = 26. Novamente, V. deverá observar que parece haver max perto do x = 25. Idem se usar passo 0.01 ou ainda menor.
   
   Conclusão empírica:
   o max ocorre em x = 25 e seu valor é ymax = areamax = y(25) =....
   Se V. conhecer alguma linguagem de programação, escreva um programa de computador que faça automaticamente as tabelas acima.
   
   

2. MODO MAIS MATEMATICO:
   
   O método usado acima tem um grande mérito: ele envolve apenas cálculos aritméticos, não necessitando praticamente nenhum conhecimento matemático. Por outro lado, ele tem a desvantagem de ser demorado de executar e pode-se questionar o grau de certeza com que se afirma que a solução ocorre em x = 25.
   Assim sendo, vale a pena examinarmos um caminho alternativo: mais rápido, mais rigoroso, mas exigindo algum conhecimento matemático.
   
   Partimos da observação que o gráfico de nossa função, y = x ( 50 - x ), conforme se aprende no ensino primário, é uma parábola. Mais: é fácil ver que essa parábola corta o eixo dos x em x = 0 e em x = 50, e que seu vértice está voltado para cima. Por simetria do gráfico, é imediato concluir que o x do vértice é a média entre x = 0 e x = 50, ou seja ymax ocorre em x = 25.
   Confira que o algoritmo abaixo detalha essa sequência de obtenção de informações:

   ALGORITMO : -confirme que a função y = y ( x ) tem gráfico de forma parabólica e vértice V na parte superior -ache os pontos P1 e P2 onde a parábola corta o eixo dos x -ache as coordenadas do vértice V: .a abscissa e' a média das abscissas de P1 e P2 .a ordenada e' o valor de y = y ( x ) em x = tal media -o terreno de area máxima tem: .primeiro lado = abscissa de V .segundo lado = 50 - primeiro lado .area = y ( primeiro lado )

   
   Mostre que o algoritmo acima tem a vantagem de poder ser rapidamente modificado para resolvermos versões do problema que tenham um outro comprimento de corda. Escreva essa modificação, incluindo na mesma a escritura explícita da expressão analítica da função y = y( x ) .

ATIVIDADE 2
Você tem uma loja de material escolar que vende 80 mochilas por mês, com lucro de R$12,00 por unidade. Você observou que a cada R$ 1,00 de desconto no preço da mochila a venda mensal aumenta em 10 unidades. Pede-se o preço de venda que maximizará o lucro mensal nesse item.

Solução:

Indiquemos as seguintes variáveis do problema:

l = lucro unitário
L = lucro total
m = mochilas vendidas

Para entender mais claramente o que está sendo pedido, façamos a seguinte tabela:

         l           m                L
         12          80              12*80 =960
         11          90              11*90 =990
         10         100              10*100=1000
          9         110               9*110=990
         etc,etc

fica, agora, fácil de entender o enunciado e se ver que este problema é muito parecido com o anterior. Fica para V. modificar os algoritmos anteriores e então achar o lucro máximo pedido.