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C Á L C U L O das C O N S T A N T E S E L E M E N T A R E S C L Á S S I C A S: |
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C Á L C U L O das C O N S T A N T E S E L E M E N T A R E S C L Á S S I C A S: |
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Um número fascinante PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada. Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa. Como uma consequência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
PI está em todos os lugares O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática. É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações. EXERCÍCIO Faça um levantamento das fórmulas de áreas e volumes das figuras da Geometria Euclidiana e que tenham algum tipo de circularidade ou esfericidade ( como é o caso de cilindros e cones circulares ). Para cada uma dessas figuras, procure explicar a plausibilidade da ocorrência, ou não, do PI em tais fórmulas. EXERCÍCIO As funções trigonométricas circulares ( seno, co-seno, etc ) são definidas em termos de um círculo unitário. Consequentemente, não deve ser surpreendente a ocorrência do PI em valores dessas funções e nas relações entre elas. Pede-se examinar se essa ocorrência também vale para as funções trigonométricas hiperbólicas. EXERCÍCIO A área de uma elipse de semi-eixos a e b é dada por PI . a . b Pede-se defender a plausibilidade da ocorrência de PI nessa expressão. EXERCÍCIO Se V. conhecer Calculo Infinitesimal, explique por que é nao é surpreendente que a área sob o gráfico da função y = 1/(1+x2), ao x variar de menos a mais infinito, valha PI. EXERCÍCIO O estudo dos fenômenos gravitacionais e eletromagnéticos são protótipos de fenômenos envolvendo ação à distância e, como tal, associados à propagação esférica. Pede-se dar exemplos de fórmulas gravitacionais e eletromagnéticas envolvendo PI. V. seria capaz de apontar outros exemplos de fenômenos de ação à distância? EXERCÍCIO Tanto a fórmula que expressa a força gravitacional entre duas massas como a que dá a força entre duas cargas elétricas resultam de uma ação à distância, sendo que em ambas a força diminui inversamente ao quadradado da distância. Procure explicar por que é que uma delas envolve PI e a outra não. EXERCÍCIO A propagação do som ocorre através de esferas. V. seria capaz de explicar por que é que, apesar disso, a fórmula que expressa a percepção humana ( em decibéis ) da intensidade de uma fonte sonora NAO envolve PI? DICA: parta do fato que essa fórmula envolve logaritmo e não podemos calcular logaritmo de metros ou outra grandeza física. Os vários tipos de PI Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI: Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ). EXERCÍCIO Pede-se expressar o PI de áreas de círculo, o PI de áreas de esferas e o PI de volumes em termos do PI de circunferências ( o PI classico ) e procure mostrar o verdadeiro porquê de tais relações. Por exemplo: podemos "decompor" um disco em infinitos triângulos retângulos de base infinitesimal e altura igual ao raio do disco; consequentemente, podemos ver a área do círculo ( ou do disco ) como a soma das desses triângulos:
area do circulo = d/2 . C/2 = d/2 . PI.d/2 = PI/4 . d 2 Voce seria capaz de pensar em algo análogo para a área e o volume da esfera? |
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A descoberta do PI Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Consequentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI! Esse exemplo, e outros que poderiamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais sao problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas. Essa inquietação nao é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmica, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri. 
E' preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na
noite dos tempos, em bem
remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento
com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam
explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC,
como a mostrada ao lado.
Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a
adotar a
aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para
PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.
EXERCÍCIO Neugebauer, em seu livro Mathematical Cuneiform Texts, traduziu vários problemas de tabletas mesopotâmicas envolvendo aproximação do PI. Esses problemas pedem para obter a área A de um círculo a partir do conhecimento da circunferência do mesmo, usando-se a regra: A = 5/60 C2 Pede-se mostrar que isso equivale a usar PI = 3.EXERCÍCIO Por muito tempo, achava-se que a única aproximação do PI usada pelos mesopotâmicos era a PI = 3. Essa visão foi destruída, em 1 950, quando o historiador matemático E. M. Bruins traduziu várias tabletas encontradas em Suse e datadas de c. 2 000AC. Os problemas dessas tabletas pediam para calcular a área de um campo circular de diâmetro dado, e para tal usavam a aproximação ( em base sexagesimal ): PI = 3; 7, 30 = 3 + 7/60 + 30/602, o que equivale ( verifique ) a dizer PI = 3 15/120 = 3 1/8 = 3.125. EXERCÍCIO A aproximação mesopotâmica acima também aparece nos documentos da Tradição dos Altares ( matemática da India védica ). Com efeito, os Sulvasutras c. 400 AC fazem a quadratura do círculo tomando como quadrado de área equivalente a um círculo dado ao quadrado cuja diagonal e' 10/8 do diâmetro do círculo. Pede-se mostrar que essa regra ( sutra ) indiana corresponde a usar a aproximação de PI encontrada nas tabletas mesopotâmicas de Suse. EXERCÍCIO Para fazer a quadratura ( = achar um quadrado de mesma área ) de um círculo dado, os egípcios usavam a seguinte regra prática: construa o quadrado cujo lado é o segmento que resulta ao cortarmos fora a nona parte do diâmetro do círculo dado. Obviamente, essa regra faz uma quadratura aproximada e equivale a tomar PI = 4 ( 8 / 9 )2 = 3.16. Essa aproximação é muito difundida na literatura do ensino secundário e primário e tipicamente ela é citada ( erroneâmente ) como a mais antiga aproximação conhecida para o PI. Existem duas razões para a divulgação desse erro: o grosso da literatura histórica acessível aos professores do ensino primário e secundário é obsoleta, nem ao mesmo tomando conhecimento das pesquisas fundamentais de Neugebauer c. 1 930 sobre a matematica mesopotâmica; a outra razão é a perniciosa influência que as fantasias e deturpações da Etnomatemática tem tido no ensino elementar. Embora essa aproximação egípcia para o PI não seja a mais antiga e nem a mais exata entre as conhecidas na Antiguidade, ela corresponde a uma regra muito simples, prática e razoavelmente precisa. Mais importante e interessante é perguntar como os egípcios descobriram tal regra. Inúmeros historiadores investigaram essa questão e, talvez, quem mais detalhadamente a estudou foi Paulus Gerdes, no trabalho: Three alternate methods of obtaining the ancient Egyptian formula for the area of a circle, in Historia Math. 12 ( 1 985 ), n.3. Nesse trabalho, o Prof. Gerdes apresenta três tentativas de reconstrução do método de descoberta pelos egípcios, sendo que passaremos a explicar a mais plausível delas, a que envolve um procedimento comum entre os construtores egípcios: o método dos discos metálicos. Usando os discos metálicos, fica fácil ver como eles chegaram a tal valor observando as figuras abaixo:
Obviamente, o quadrado acima faz a quadratura ( aproximada ) do
círculo, pois essas duas figuras são formadas de 64 discos. Para V. obter a aproximação
egípcia do PI, resta V. conseguir explorar a igualdade dessas áreas
levando em conta o
valor do diâmetro do círculo e o do lado do quadrado expressos em termos do
tamanho dos discos.
diz que a resposta deste problema é 71 103/157.
Bem, mas voltemos a um pouco antes do Projeto PI de Archimedes. E' bastante conhecido que Euclides foi matemático pouco original e que seu livro Elementos corresponde mais a uma compilação de resultados já conhecidos e a uma terceira geração de stoicheia ( = elementos ), ie de uma terceira geração de organizações axiomáticas dos conhecimentos básicos da geometria elementar grega. Isso nos leva a indagar quem teriam sido os reais autores das proposições 2 e 18 de seu livro XII. Partindo do fato que Euclides baseou a demonstração dessas duas proposições no Método da Exaustão, T. L. Heath ( in The Thirteen Books of Euclid's Elements ) concluiu que as mesmas remontam, no mínimo, a Eudoxos c. 370 AC, o qual é tido como o primeiro grande matemático a desenvolver o Método da Exaustão. E' importante, contudo, que não esqueçamos que essas demonstrações podem ser anteriores a Eudoxos, pois esse método foi criado duas gerações antes dele, por Antiphon e Bryson em c. 430 AC. EXERCÍCIO No que toca à demonstração do pi das circunferências, do pi das áreas de círculo, do pi das áreas de esferas e do pi do volume de esferas:
EXERCÍCIO Cite documentos e teoremas permitindo provar a existência de cada um dos quatro tipos de PI. EXERCÍCIO Usando os três teoremas do que chamamos, acima, Projeto Pi de Archimedes, prove a existência dos dois PI's NAO tratados nos Elementos de Euclides. EXERCÍCIO Partindo dos resultados do Projeto PI de Archimedes, relacione o PI da circunferência com o PI da área de círculos, com o PI da área de esferas e com o PI do volume de esferas. EXERCÍCIO Grande parte da literatura menciona um único trabalho de Archimedes associado ao número PI: o Sobre a medida do círculo. Pergunta-se se V. acha isso justo? |
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Por que é tão difícil calcular o PI? A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761. Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente. O cálculo de aproximações práticas do PI? Dada a ubiqüidade do PI, já comentada acima, é mais do que natural e importante que desejemos calcular seu valor. Contudo, dada sua irracionalidade imprevisível, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar: por que não nos contentarmos com aproximações PRATICAS do PI? Nas lides diárias, dificilmente precisaremos conhecer uma aproximação melhor do que 3.14, enquanto que a vasta maioria dos calculos científicos não precisa saber mais do que 3.1416 e somente cálculos matemáticos muito exigentes, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, precisaria saber mais de 10 dígitos do PI. O mais antigo matemático que se preocupou com a obtenção de aproximações PRATICAS do PI foi Archimedes c. 200AC, em seu trabalho Sobre a medida do círculo. Usando o método dos polígonos, que descreveremos adiante, na proposição 3 desse trabalho ele mostra que: a circunferência de qualquer círculo é maior do que três vezes seu diâmetro, e o excesso e' menor do que a sétima parte do diâmetro mas maior do que dez vezes sua septuagésima primeira parteou seja: 3 10/71 < PI < 3 1/7, o equivale a dizer, em frações decimais: 3.1408 < Pi < 3.1428. O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações do valor do PI tão grandes quanto desejarmos. E' importante não esquecermos desse "em princípio" pois que Archimedes calculava com frações ordinárias e isso tornava seus cálculos extremamente penosos. Archimedes partiu de quadrados e chegou até aos hexacontatetrágonos ( = polígonos regulares de 64 lados ) e aí parou pois que achou que esses produziam um aproximação PRATICA do PI. Insistimos: ele parou aí porque considerava ter obtido uma aproximação prática e não porque não tinha condições de enfrentar o crescente volume de cálculos. Com efeito, Heron de Alexandria, in Metrika I, diz que Archimedes, em seu livro Plinthides kai kylindroi ( hoje, completamente perdido ), mostrou que: 211 875 / 67 441 < PI < 197 888 / 62 351 Em verdade, o costume de preferir usar aproximações cómodas do PI, em lugar de aproximações mais exatas, não iniciou com Archimedes. Os mesopotâmicos e os romanos conheciam várias aproximações para o PI, embora preferissem usar PI = 3 ( é o que fazia, por exemplo, o famoso arquiteto romano Vitruvius ). Logo após Archimedes, Apollonios, num outro trabalho lamentavelmente perdido e entitulado Okytokion, obteve a hoje clássica e universal aproximação PI = 3.1416 ( que provavelmente ele escreveu como 3927 / 1250 ), mas reconhecia que a mesma não tinha a praticidade da 22/7 ( ou seja 3 + 1/7 ) de Archimedes. B. van der Waerden argumenta que o trabalho de Apollonios foi lentamente divulgado entre os matemáticos e astronomos indianos e chegou até a China onde Zu Chongzhi c. 450dC o teria aperfeiçoado para obter a estimativa 3.1415 926 < PI < 3.1415 927, que corresponde a calcular PI com sete dígitos corretos e que foi durante muitos séculos a mais exata aproximação conhecida para PI ( os livros de Zu Chongzhi foram perdidos, mas sabe-se que sua estimativa acima aparece no livro de Cálculo Infinitesimal, entitulado Zhui shu, que foi escrito por ele ou por seu filho, Zu Gengzhi, o qual foi um matemático ainda mais talentoso; o mais antigo relato que temos do cálculo do Pi por Zu Chongzhi aparece no comentário de Li Chunfeng do Jiu zhang suanshu, capítulo 1, problema 32 ). Por que calcular muitos dígitos do PI ? Quanto ao porquê de se procurar calcular PI com um número de decimais cada vez maior se, sabe-se, que tais aproximações não terão valor prático: ATE A SEGUNDA GUERRA: ATUALMENTE: alem dos itens acima:
EXERCÍCIO 
Atualmente, as embaixadas chinesas estão divulgando um pequeno folheto onde
são resumidos os maiores feitos da cultura chinesa durante os últimos 5 000 anos.
Tal folheto menciona, orgulhosamente, o matemático Zu Chongzhi ( fig. ao lado ).A partir do que V. leu nesta página, como V. poderia justificar a inclusão desse matemático no folheto? |
versão: 08-jan-2 001
local desta página: http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/aplicomp.html
© J. F. Porto da Silveira
permitida a reprodução, desde que com fins acadêmicos e não comerciais.
O desenho no topo desta página é a "Morte de Archimedes" de Daumier c. 1850, em exposição no Museu de Budapest.
