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A invenção da Trigonometria por Hipparchos, 150 AC

1.- A idéia genial de Hipparchos



Os problemas de triângulos mais comuns e importantes são aqueles em que, a partir de alguns lados e ângulos conhecidos, queremos achar os demais lados e ângulos. Esses problemas trazem o inconveniente de que as relações entre esses elementos usualmente não são algébricas. Por exemplo, no caso de um triângulo qualquer a relação entre os lados do mesmo não é algébrica, a não ser no caso especial de triângulos retângulos ( para os quais vale o teorema de Pythagoras ).
Contudo, introduzindo a função trigonométrica co-seno, podemos facilmente achar relações algébricas entre os lados e os cos dos ângulos do triângulo, conforme nos diz o teorema dos co-senos, em notação clássica :

a2 = b2 + c2 - 2 b c cos A

b2 = a2 + c2 - 2 a c cos B

c2 = a2 + b2 - 2 a b cos C


Com tais relações, por exemplo, conhecendo b, c e A, o valor de a será facilmente obtido a partir de uma extração de raiz quadrada precedida da determinação do cos A.

Essa, em essência, foi a idéia de Hipparchos e é tão simples que poucos se dão conta de sua genialidade. Com a introdução de funções trigonométricas, ele não só viabilizou achar relações entre lados e ângulos de triângulos, mas tornou algébricas essas relações. Esse artifício de cálculo tem um preço: é preciso construir tabelas das funções trigonométricas.


2.-   A função trigonométrica de Hipparchos: a corda


Hipparchos introduziu, em verdade, uma única função trigonométrica: a função corda, conforme mostrado na figura abaixo. Dado um círculo de raio R, a função corda associa a cada ângulo A de vértice no centro do círculo o valor da medida da respectiva corda geométrica:

É é fácil ver que essa função é muito parecida com a nossa função seno. Com efeito, é imediato vermos que:

corda ( A ) = 2 R sen ( A / 2 )

Outras peculiaridades:

  • o valor da corda depende do raio do círculo usado
  • esse círculo era o círculo que circunscrevia o triângulo a resolver
EXEMPLOS:
Hipparchos usava como unidade de medida, para expressar os valores da função corda, o minuto, que era 3 438 avos do raio. Contudo, seus sucessores, usavam uma unidade mais prática, a parte, que valia 60 avos do raio. Assim sendo, temos:
corda de 60° = R = 60 partes
corda de 90° = R 2 = 84.8528 partes

EXEMPLO:
Tomando círculo de R = 8 metros, mostre que:
corda 60° = 8 m
corda 90° = 11.3137 m

3.- Como Hipparchos construiu uma tabela de valores da função corda ?


A TABELA ORIGINAL DE HIPPARCHOS 150 AC

Sua tabela dava cordas de 7.5° em 7.5°, desde zero graus até 180 graus. Para conseguir isso, ele baseou-se em resultados equivalentes à nossa fórmula do seno do meio ângulo e a fórmula do seno da soma de dois ângulos:

crd2 (A/2) = 1/2 crd (180°) [ crd (180°) - crd (180° - A)]

crd (180° - (A+B)) crd (180°) = crd (180° - A) crd (180°- B) - crd (A) crd ( B)

com isso ele:

  • calculou sucessivamente crd 60° , crd 30° , crd 15° , crd 7.5°
  • calculou a tabela propriamente dita, que dava a corda para os ângulos de 7.5 ° até 180 ° , com passo de 7.5°.


A TABELA MAIS EXATA DE PTOLEMAIOS C. 150 dC

É uma tabela mais útil, pois dá a corda de meio em meio grau, desde zero até 180 graus. Sua estratégia de cálculo é, também, um aperfeiçoamento da de Hipparchos:
  • usando o hexágono e o pentágono, obteve a crd de 60 e 72 graus
  • Usando a expressão da corda da diferença, obteve a corda de 72° - 60° = 12°
  • trabalhando como Hipparchos, obteve sucessivamente: crd 6° , crd 3° , crd 1.5° e crd 0.75°
  • obtém a crd 1° usando que se 0 < A < B < 180° então crd B : crd A : : B : A
  • pelo meio-arco, calcula a crd 0.5° desde a crd 1°
  • finalmente obtém, pela regra da crd da soma, as cordas de zero até 180 graus, de meio em meio grau

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