Proporções II


Esta é a segunda parte de nosso mini-curso sobre proporções. Na primeira parte foi estudada a noção de proporção entre duas variáveis, nesta estudaremos proporção entre várias variáveis, o que classicamente é chamado de proporções compostas.

Como já fizemos na primeira parte, faremos esse estudo deixando de lado o ultrapassado e confuso método da Regra de Três Composta. Procuraremos enfatizar os aspectos conceituais e, a partir deles, mostrar uma técnica algébrica de muito fácil utilização na resolução de problemas.

O bom entendimento do que segue depende da assimilação do material da primeira parte desse mini-curso. Se V. ainda não o estudou, faça isso acessando-o clickando aqui.

1.- Recordando proporções entre duas únicas variáveis



Iniciemos recordando que no caso de UMA variável independente, u = u(x), a existência de proporcionalidade direta entre u e x pode ser caracterizada do seguinte modo:
ao x variar de x=x' para x=x" os correspondentes valores u variam de u=u' para u=u" e isso de modo que valha:
u"
u'
 		= x"
x'


2.- Proporções compostas ou entre várias variáveis



Agora, iremos examinar a noção de proporcionalidade no caso de uma variável u que dependa de várias outras independentes: x, y, z, etc. Para não complicar a notação, trataremos explicitamente do caso de duas variáveis independentes, u = u(x,y). O leitor não deverá ter nenhuma dificuldade em estender os resultados que se seguem para o caso de três ou mais variáveis independentes.

Para introduzirmos o conceito de proporcionalidade direta no caso de funções do tipo u = u(x,y), imitaremos o que foi feito no caso u = u(x):

DEFINIÇÃO:
Numa função u = u(x,y) dizemos que u varia em proporção direta com x,y, e escrevemos u  x, y, se
u (x",y")
u (x',y')
 		= x".y"
x'.y'


OBSERVAÇÃO
É imediato vermos que dizer que u  x, y é o mesmo que dizer que u = a xy, para uma constante a não nula.

OBSERVAÇÃO
Sendo u = u(x,y)  x, y, é imediato vermos que: Podemos resumir isso escrevendo que se u = u(x,y)  xy então u  x, y.
O resultado seguinte mostra que também é verdadeira a recíproca disso.

TEOREMA
Se u  x, y então u  xy.

prova:
Da hipótese, podemos dizer que a passagem x',y' ---> x",y' nos permite escrever que
u (x",y')
u (x',y')
 		= x"
x'

de modo análogo, a passagem x",y' ---> x",y" nos permite escrever:
u (x",y")
u (x",y')
 		= y"
y'

dessas duas igualdades, podemos deduzir que
u (x",y")
u (x',y')
 		= x"y"
x'y'

o que demonstra que u  xy. Com efeito, para vermos a veracidade da ultima igualdade, basta um pequeno truque: 

u(x",y")       u(x",y")       u(x",y')     y"    x"     x"y"
--------  =  -----------  .  ---------- = --- . ---- = ------
u(x',y')       u(x",y')       u(x',y')     y'    x'     x'y'


3.- Vamos praticar



EXEMPLO
Custa $150 transportar 1 200 Kg por 90 Km. Quanto custará transportar 750 Kg por 80 Km?
Solução:
sendo c = custo, p = peso e d = distância, a primeira coisa é atinar que é razoâvel supormos que c p , d. Consequentemente, temos a função c = c ( p , d ) = a p d. Ora, a constante de proporcionalidade a é achada pela equação: 150 = a . 1 200 . 90. Assim que:
c ( 750 , 80 ) = a . 750 . 80 = $ 83.33.

Este modo algébrico de pensar é, certamente, bem mais fácil do que a aplicação da chamada Regra de Três Composta.

EXERCICIO
Para pavimentar 48 m de estrada foram precisos 8 trabalhadores, durante 15 dias de 10 horas. Quantos dias de 12 horas serão necessários para 6 trabalhadores pavimentarem 96m ?
DICA:
sejam D = dias, c = comprimento, T = trabalhadores, j = jornada de trabalho. Inicie verificando a plausibilidade de
d = d ( c , t , j ) c , 1 / t , 1 / j
e conclua que d = 33.3 dias.

fig




versão: 04-abr-2 002
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