MAT-318 Análise A Prof. Eduardo




INTRODUÇÃO




A matemática se divide em alguma grandes áreas: Análise, Álgebra, Geometria, etc. A Análise é o estudo dos processos infinitos, ou de limite, por exemplo, derivadas e integrais. Estes processos aparecem em vários contextos, alguns mais, outros menos sofisticados. Uma das situações mais simples em que eles aparecem é no estudo das funções de uma variável real, a chamada Análise na Reta, o objetivo do presente curso. Posteriormente pode-se estudar a Análise no $ \mathbb{R}^n$ (funções de várias variáveis reais), a Análise Complexa (funções $ f:\mathbb{C} \longrightarrow\mathbb{C}$), a Análise Funcional (funções entre espaços de dimensão infinita), etc.

De um ponto de vista prático, pode-se dizer, com um certo grau de correção, que no curso de Análise na Reta vamos estudar a teoria do Cálculo. De fato, vamos ter dois grandes objetivos. Um primeiro objetivo é o de estudar alguns conceitos, fatos e teoremas relevantes. Mas haverá um segundo objetivo, que é tão ou mais imprtante que o primeiro, e é o de aprender a pensar e a se expressar com rigor em Matemática. Em Cálculo tudo era explicado e justificado com base em argumentos geométricos e físicos, com forte apelo intuitivo. A intuição vai sempre desempenhar um papel importante na atividade matemática, mas conforme pretendemos mostrar com alguns exemplos abaixo, existem situações em que a intuição falha completamente e só o raciocínio rigoroso pode nos orientar.

Ao longo do curso vamos ter sempre em mente a preocupação de pensar e provar tudo com rigor. Um dos objetivos centrais vai se o aluno aprenda a expressar-se com rigor. Quem não consegue se expressar com rigor é porque, na verdade, não tem as idéias bem claras. Mais tarde na vida, o matemático até pode, às vezes, dar-se ao luxo de se expressar de maneira menos rigorosa, pois sabe que, sempre que precisar, poderá voltar ao rigor. Mas no momento, nesta fase de aprendizado, isto não é desejável. Ao longo deste semestre vamos estar desenvolvendo uma habilidade. Será, portanto, indispensável praticar. Assim como não se aprende a jogar futebol ou a nadar simplesmente observando alguém fazendo isto, assim também, para desenvolver estas habilidades matemáticas, vai ser necessário ao aluno que pratique muito. Para isto é absolutamente indispensável que o aluno trabalhe e pratique nas listas de exercício. Elas são parte integrante do curso.

Vamos passar agora a ver alguns exemplos de fatos nos quais nossa intuição não ajuda muito, e que ao final deste semestre, graças ao rigor matemático e aos conhecimentos adquiridos neste curso, vamos estar aptos a entender.

1. Funções não diferenciáveis. Intuitivamente uma função contínua é aquela cujo gráfico pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel e uma função contínua é derivável em um ponto, se seu gráfico admite uma reta tangente neste ponto. É fácil dar exemplos de funções contínuas que não tenham derivadas em um número finito de pontos, por exemplo, uma função cujo gráfico é uma serra.

\begin{picture}(450,360) \put(45,60){\line(1,0){360}} \put(105,15){\line(0... ...,60) \dottedline(117,60)(115,68) \dottedline(115,68)(112,60) \end{picture}
Ainda é fácil imaginar uma função contínua que tenha uma infinidade de pontos onde não seja derivável, por exemplo a função dada pelo gráfico da figura ao lado. No entanto se perguntarmos se uma função contínua pode não ter derivada em nenhum ponto, nossa intuição será de pouca ajuda para responder a pergunta. De fato, muitos matemáticos famosos do século XIX achavam que a resposta era não, até que em 1873 Weierstrass deu um exemplo de uma tal função. Weierstrass provou que a função

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty a^n\cos(b^n\pi x) $

é contínua em todos os pontos, mas não tem derivada em nenhum
ponto, se $ a$ for um número real satisfazendo $ 0<a<1$ (esta condição garante a convergência da série) e se $ b$ for um inteiro positivo ímpar satisfazendo $ a\,b>1+\frac{3}{2}\,\pi$. Note que aqui só mesmo uma prova rigorosa pode nos convencer da veracidade deste fato, nossa intuição não nos pode ajudar. Por exemplo não há nenhuma razão intuitiva para a desigualdade acima sobre o produto $ a\,b$. No final do semestre pretendemos estudar o exemplo de Weierstrass e vamos ver que Van Der Waerden, em 1930, deu um exemplo onde a justificativa é bem mais simples. Finalmente, cabe mencionar que Hardy, em 1919, mostrou que a função de Weierstrass é não diferenciável sob a hipótese mais fraca de $ a\,b>1\,$. Para quem já estudou séries de Fourier, note que a função de Weierstrass é uma série de Fourier.

2. Integração termo a termo. Uma questão que vai no ocupar bastante, devido a sua importância nas apliacações é a de determinar condições sob as quais vale que

$\displaystyle \int_a^b\sum_{k=1}^\infty u_k(x)\,dx= \sum_{k=1}^\infty\int_a^b u_k(x)\,dx \ . $

Começamos por observar que para somas finitas isto é verdade. Portanto,

$\displaystyle \int_a^b\sum_{k=1}^n u_k(x)\,dx= \sum_{k=1}^n\int_a^b u_k(x)\,dx \ ,$   para todo$\displaystyle \ n \ . $

Fazendo $ n\longrightarrow\infty\,$, do lado direito o limite é $ \ \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\int_a^b u_k(x)\,dx$. A questão é, então, saber se $ \ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n \int_a^bu_k(x)\,dx=\int_a^b\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^nu_k(x)\,dx$. Chamando $ \displaystyle f_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x)\,$, a questão pode, então, ser reformulada em termos de limites de seqüências, saber condições sob as quais vale que

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx= \int_a^b\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\,dx \ . \hspace{3.0cm} (L) $

EXEMPLO:

\begin{picture}(100,100) \put(10,10){\line(1,0){90}} \put(20,0){\line(0,1)... ...2}} \put(44,10){\line(-1,6){12}} \put(44,10){\line(1,0){46}} \end{picture}
Sejam $ f_n:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$ as funções dadas pelo gráfico da figura ao lado. A integral $ \displaystyle\int_0^1f_n(x)\,dx=1\,$ pois representa a área de um triângulo de base $ 2/n\rule{0.0cm}{0.4cm}$ e altura $ n$. Por outro lado, para cada $ x>0$ fixado,
a seqüência $ (f_n(x))$, a partir de certo ponto fica constante igual a 0 (fixado $ x>0\,$, considera o número real positivo $ 1/x_0$. Existe um inteiro $ n_0>1/x_0$. Para todo $ n\geq n_0$ tem-se $ f_n(x)=0$.). Logo $ \displaystyle\rule{0.0cm}{0.4cm} f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=0\,$. Logo

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx= \lim_{n\rightarrow... ...lim_{n\rightarrow\infty}0= \int_a^b\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\,dx \ \ . $

Portanto neste exemplo não vale a igualdade $ (L)$.

EXEMPLO: A função de Dirichlet.
Seja $ f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ a função dada por \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1\ , \ \ \text{ se $x$\ \'e r... ...x$\ \'e irracional}\rule{0.0cm}{0.45cm} \end{array} \right. \end{displaymath}


É surpreendente que esta função também se expresse por

$\displaystyle f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty} \cos^{2\,m}(n!\,\pi\,x) \ . $

De fato, para cada $ n$, define $ \displaystyle\, f_n(x)=\lim_{m\rightarrow\infty}\cos^{2\,m}(n!\,\pi\,x)\,$. Se $ n!\,x$ for inteiro, $ \cos(n!\,\pi\,x)=\pm1\,$ e, portanto, $ f_n(x)=1\,$. Se $ n!\,x$ não for inteiro, então $ \lvert\cos(n!\,\pi\,x)\rvert<1$ e portanto $ f_n(x)=0$. Logo, para cada $ n$ fixado, $ f_n(x)=1$ para um número finito de pontos, somente para os $ \displaystyle\,x=\frac{p}{q}\,$ que são racionais com denominador $ q=1,2,3,\ldots,n$.
Temos então que $ \displaystyle\, f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$, $ f_n$ são integráveis com $ \displaystyle\, \int_0^1f_n(x)\,dx=0\,$. O problema é que $ f$ não é integrável. Ela oscila demais entre os valores 0 e 1 para que possa ser integrada. Ou seja, a igualdade $ (L)$ falha também, mas por outra razão: um dos lados não está definido.

Para ganhar um entendimento desta questão vai ser necessário introduzir um novo conceito, o de convergência uniforme. Vamos estudar um teorema que diz que se as $ f_n$ são integráveis e convergem uniformemente para $ f$, então $ f$ também é integrável e vale a igualdade $ (L)$, $ \lim\int_a^bf_n=\int_a^bf=\int_a^b\lim f_n\,$.

3. Derivação termo a termo. É exatamente a mesma questão do item acima, só que para a derivação. Precisamente, se as funções $ f_n(x)$ são deriváveis e se $ \,f_n(x)\longrightarrow f(x)\,$, quando $ \,n\longrightarrow\infty\,$, segue que $ \,f_n'(x)\longrightarrow f'(x)\,$? Aqui também em geral a resposta será não, como mostram alguns exemplos abaixo. Para obter uma resposta positiva será necessário fazer um estudo cuidadoso, no quel a noção de convergência uniforme desempenha um papel importante.

EXEMPLO: Sejam $ \,\,f_n(x)=\displaystyle \frac{\sin nx}{n}\,\,$ e $ \,\,f(x)=0\,$. Como $ \displaystyle\,\lvert f_n(x)\rvert\leq\frac{1}{n}\,\,$, segue que $ f_n(x)\longrightarrow f(x)\,$, quando $ \,n\longrightarrow\infty\,$. No entanto, $ \displaystyle\,f_n'(x)=\cos nx$ não tende a $ \,f'(x)=0\,\rule{0.0cm}{0.4cm}$, quando $ \,n\longrightarrow\infty\,$.

EXEMPLO: Seja $ \,f:[-1,1]\longrightarrow \mathbb{R}\,$, $ \,f(x)=\lvert x\rvert\,$ e sejam $ \,f_n:[-1,1]\longrightarrow\mathbb{R}\,$, $ \,f_n(x)=\sqrt{x^2+1/n}\rule{0.cm}{0.5cm}\,$. Os gráficos das $ \,f_n\,$ são hipérboles que aproximam por cima o gráfico do módulo de $ x\rule{0.0cm}{0.5cm}$. Temos < $ f_n(x)\longrightarrow f(x)\,$, quando $ \,n\longrightarrow\infty\,\rule{0.0cm}{0.5cm}$. Mas não se tem a mesma coisa para as derivadas, e isto por uma razão muito simples, a função $ \,f(x)\,\rule{0.0cm}{0.5cm}$ nem ao menos é derivável no ponto 0.

4. Conjuntos Infinitos. Vamos precisar estudar um pouco os conjuntos infinitos e classificá- los quanto à quantidade de elementos (cardinalidade). Vamos ver que o tipo mais simples são os chamados conjuntos infinitos enumeráveis, aqueles que formam uma infinidade não tão grande, de modo a que seus elementos podem ser listados, isto é, dispostos em uma seqüência. Por exemplo, o conjunto $ \mathbb{Z}$ dos números inteiros é enumérável, a seqüência $ 0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots$ contém todos os seus elementos. Não é nada intuitivo, mas vamos ver que o conjunto $ \mathbb{Q}$ dos números racionais também é enumérável. De fato, é bastante surpreendente que seja possível dispor todas as frações em uma seqüência. Já um intervalo $ [a,b]$ é não enumerável, seus elementos são tantos que não podem ser dispostos em uma seqüência.

5. Funções Monótonas. Uma função monótona (crescente ou decrescente) pode ter vários pontos de descontinuidade, como na figura ao lado. Vamos demonstrar que um teorema que afirma que

\begin{picture}(180,110) \put(0,20){\line(1,0){170}} \put(20,5){\line(0,1)... ...10,25)(10,20) \put(134,8){\mbox{$b$}} \put(8,10){\mbox{$a$}} \end{picture}          
mesmo que exista uma infinidade deles, vai ser um conjunto infinito enumerável. Como foi dito acima o conjunto dos números racionais é infinito enumerável. Pode-se, então, perguntar se é possível construir uma função monótona, definida em um intervalo $ [a,b]\,$, que seja descontínua em todos os racionais do intervalo $ [a,b]\,$. Aqui, novamente, nossa intuição não consegue nos convencer se
a construção de uma tal função é possível ou não, no entanto, relativamente cedo no semstre, já estaremos em condições de realizá-la.

6. Teorema Fundamental do Cálculo. No estudo das funções $ \,f:I\longrightarrow \mathbb{R}\,$ os dois conceitos principais são os de derivada e integral. Apesar de serem definidos de maneira bastante independente, existe uma relação estreita entre esses dois conceitos. O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se a função $ f$ for derivável e se sua derivada $ f'$ for integrável, então

$\displaystyle \int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a) \ . $

Como conseqüência, temos o método mais comumente empregado para o cálculo de integrais. Se quisermos calcular a integral $ \,\int_a^bg(x)\,dx\,$ de uma função integrável $ g$, começamos por procurar uma primitiva $ f$ para $ g$, isto é, uma função derivável $ f$ tal que $ \,g(x)=f'(x)\,$ para todo $ x$. Se este projeto for realizável, pode-se empregar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter o valor da integral de $ g$:

$\displaystyle \int_a^bg(x)\,dx=\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a) \ . $

Neste ponto, temos uma questão simples e importante, que merece ser investigada: toda função integrável em um intervalo possui uma primitiva? Veremos que a resposta é não, embora não seja nada intuitivo. Cabe ainda perguntar: é possível caracterizar a classe de todas as funções que possuem uma primitiva, ou pelo menos, qual é uma classe de funções suficientemente ampla e simples de caracterizar, que possuem primitiva? Este é um tipo de questão estudado na Análise.

7. Teorema da Aproximação de Weierstrass. Este teorema, que vamos provar perto do final do semestre, afirma que se $ \,f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\,$ é uma função contínua definida em um intervalo fechado, então $ f$ pode ser aproximada por polinômios, mais precisamente, existe uma seqüência $ (p_n)$ de polinômios, tal que $ \,p_n(x)\longrightarrow f(x)\,$ uniformemente.

No segundo exemplo do item 3, consideramos uma siuação em que $ f_n$ são deriváveis, $ f_n(x)\longrightarrow f(x)\,$, quando $ \,n\longrightarrow\infty\,$, mas o mesmo não vale para as derivadas, pela razão que a derivada $ f'(x)$ não existe em um ponto. Pode-se tornar o exemplo mais interessante, encontrando uma situação em que a derivada $ f'(x)$ deixa de existir uma um conjunto maior de pontos, mas é muito difícil para nossa intuição imaginar um exemplo em que apesar das funções $ \,f_n(x)\,$ serem deriváveis em todos os pontos, a função limite $ \,f(x)\,$ não tenha derivada em nenhum ponto. A seguir indicamos como isto pode ser conseguido com a ajuda do Teorema da Aproximação de Weierstrass.

Note que no item 1, mencionamos que existem funções $ \,f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\,$ contínuas em todos os pontos, mas que não têm derivada em nenhum ponto. Seja $ f$ uma tal função. Pelo Teorema da Aproximação de Weierstrass, existem polinômios $ \,p_n(x)\,$, tal que $ \,p_n(x)\longrightarrow f(x)\,$ uniformemente. Em particular poliinômios são infinitamente diferenciaveis.

8. Séries de potências. Como chamamos a atenção acima, nem sempre pode-se integrar ou derivar termo a termo uma seqüência convergente de funções. No entanto vamos ver que para séries de potências isto é sempre possível. Para isto vai ser importante estudar as propriedades de convergência uniforme das séries de potências no interior de seus intervalos de convergência. Vamos ver que toda série de potências com raio de convergência positivo representa uma função infinitamente diferenciável (que tem derivadas de todas as ordens), mas que nem toda função infinitamente diferenciável pode ser representada por uma série de potências (uma função que possa ser representada por uma série de potências é dita analítica). Portanto os polinômios que, pelo Teorema da Aproximação de Weierstrass, convergem uniformemente para $ f$ não são necessariamente seus polinômios de Taylor. Que polinômios são estes, então? Dada uma função $ \,f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\,$ contínua, qual seria uma seqüência simples $ (p_n)$ de polinômios convergindo uniformemente para $ f\,$? Compondo com uma mudança linear de variável, basta saber responder esta pergunta no caso particular $ [a,b]=[0,1]$. Provaremos que se $ \,f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}\,$ é contínua, então os polinômios de Bernstein de $ f$, definidos por

$\displaystyle B_n(x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}f\left( \frac{k}{n}\right)x^k\,(1-x)^{n-k} \ \ , $

convergem uniformemente para $ f(x)$, quando $ n\longrightarrow\infty\,$. Foi o matemático russo S. Bernstein que, em 1912, descobriu este fato. Bernstein era um probabilista e uma observação curiosa é que, de fato, seu teorema tem uma interpretação probabilística. Afinal

$\displaystyle {n\choose k}x^k\,(1-x)^{n-k}= \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\,x^k\,(1-x)^{n-k} $

em probabilidade representa a distribuição binomial: a probabilidade de obter extamente $ k$ vezes cara em $ n$ lançamentos, se em cada lançamento a probabilidade de obter cara é $ x$ (e, conseqüentemente, a probabilidade de obter coroa é $ 1-x\,$).

9. Lema de Riemann-Lebesgue. Dada $ f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ integrável estudaremos um resultado, conhecido como Lema de Riemann-Lebesgue, que afirma que

$\displaystyle \lim_{p\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)\,$ sen$\displaystyle \,p\,x\,dx=0 \ . $

Este resultado desempenha um importante papel no estudo da convergência das séries de Fourier. Se $ f$ é derivável, com $ f'$ integrável, obtém-se por integração por partes (por sinal a integração por partes é uma aplicação imediata do Teorema Fundamental do Cálculo),

$\displaystyle \int_a^bf(x)\,$ sen$\displaystyle \,p\,x\,dx= \int_a^bf(x)\,\left(-\frac{\cos\,p\,x}{p}\right)'dx $

$\displaystyle =\left.-\frac{f(x)\,\cos\,p\,x}{p}\right\vert _{x=a}^{x=b}+ \frac{1}{p}\int_a^bf'(x)\,\cos\,p\,x\,dx \ , $

sendo então mais ou menos claro que esta expressão vai a 0, pois $ \,\displaystyle \frac{1}{p}\longrightarrow0\;$, quando $ p\rightarrow\infty\,$.

O problema com o raciocínio acima é: e se $ f$ não for derivável? Ou se for derivável, mas $ f'$ não for integrável? Como se procede, então? Estaremos aqui, diante de um exemplo de uma situação em que se emprega uma técnica muito comum em análise, a de aproximação. Dada uma função integrável $ \,f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}\,$, primeiro arranjamos funções escada $ h_n\,$, próximas de $ f$ no sentido que

$\displaystyle \int_a^b\lvert f(x)-h_n(x)\rvert\,dx<\frac{1}{n} \ . $

Em seguida mostramos que para as funções escada vale que

$\displaystyle \lim_{p\rightarrow\infty}\int_a^bh_n(x)\,$ sen$\displaystyle \,p\,x\,dx=0 \ . $

Finalmente combinamos estas duas informações:

$\displaystyle \left\vert\int_a^bf(x)\,\text{sen}\,p\,x\,dx\right\vert= \left\v... ...[\Bigl(f(x)-h_n(x)\Bigr)+h_n(x)\biggr] \,\text{sen}\,p\,x\,dx\right\vert\leq $

$\displaystyle \leq\left\vert\int_a^b\Bigl(f(x)-h_n(x)\Bigr) \,\text{sen}\,p\,x\,dx\right\vert+\left\vert\int_a^b h_n(x)\,\text{sen}\,p\,x\,dx\right\vert\leq $

$\displaystyle \leq\int_a^b\lvert f(x)-h_n(x)\rvert\,dx+ \left\vert\int_a^bh_n(x)\,\text{sen}\,p\,x\,dx\right\vert \ . $

Como cada uma das parcelas da última linha acima podem ser tornadas pequenas, vai seguir que $\displaystyle \lim_{p\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)\,$ sen$ \,p\,x\,dx=0 \ . $

Comentário Final. Esperamos que os exemplos ajudem a dar uma idéia do que é a Análise e do tipo de raciocício que ela envolve e pretende desenvolver. Todos eles e muitos outros serão abordados ao longo do semestre.



Eduardo H. M. Brietzke