FUNÇÕES DE BESSEL




A equação de Bessel de índice $ p$ é a EDO

$\displaystyle x^2y''+xy'+\bigl(x^2-p^2\bigr)y=0 \ , $

onde $ p$ é um número real.

O ponto $ \,x_0=0\,$ é um ponto singular regular para a equação de Bessel. Aplicando, então, o método de Frobenius, procuramos uma solução da forma

$\displaystyle y=x^r\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+r} \ ,$    com $\displaystyle \ a_0\neq 0 \ . $

Substituindo na equação de Bessel, obtemos

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \,(n+r)(n+r-1)a_n\,x^{n+r}+ \sum_{n=0}^\infty \... ...r}+\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+r+2}- \sum_{n=0}^\infty p^2\,a_n\,x^{n+r}=0 \ . $

Juntando o 1 $ ^{\underline{\rm o}}$, o 2 $ ^{\underline{\rm o}}$ e o 4 $ ^{\underline{\rm o}}$ somatórios, obtemos

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \,\bigl((n+r)^2-p^2\bigr)a_n\,x^{n+r}+\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+r+2} =0 \ . $

No segundo somatório acima, fazendo $ \,k=n+2\,$ e fatorando o coeficiente do primeiro somatório, obtemos

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \,\bigl(n+r+p\bigr)\bigl(n+r-p\bigr)a_n\,x^{n+r}+ \sum_{k=2}^\infty a_{k-2}\,x^{k+r}=0 \ . $

No segundo somatório, substituindo o índice $ k$ por $ n$, separando os dois primeiros termos do primeiro somatório, obtemos

$\displaystyle \bigl(r+p\bigr)\bigl(r-p\bigr)a_0\,x^r+ \bigl(r+p+1\bigr)\bigl(r-p+1\bigr)a_1\,x^{r+1}+\qquad\qquad\qquad\qquad $

$\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad+ \sum_{k=2}^\infty\biggl(\bigl(n+r+p\bigr)\bigl(n+r-p\bigr)a_n+ a_{n-2}\biggr)x^{n+r}=0 \ . $

Como $ \,a_0\neq 0\,$, segue que
$\displaystyle \bigl(r+p\bigr)\bigl(r-p\bigr)=0$     (1)
$\displaystyle \bigl(r+p+1\bigr)\bigl(r-p+1\bigr)a_1=0 \rule{0.cm}{0.4cm}$     (2)
$\displaystyle \bigl(n+r+p\bigr)\bigl(n+r-p\bigr)a_n+a_{n-2}=0 \rule{0.cm}{0.4cm}$     (3)

A equação (1) é a equação indicial. Suas raízes são $ \,r_1=p\,$ e $ \,r_2=-p\,$.

1 $ ^{\underline{\rm a}}$ Solução: Para $ \,r_1=p\geq 0\,$, a equação (2) se torna

$\displaystyle \bigl(2\,p+1\bigr)a_1=0 \ , $

ou seja,

$\displaystyle a_1=0 \ .$ (4)

A fórmula de recorrência (3) se torna

$\displaystyle \bigl(n+2\,p\bigr)n\,a_n+a_{n-2}=0 \ , \qquad n=2,3,4,\ldots$ (5)

De (5) segue que

$\displaystyle a_n=-\,\frac{a_{n-2}}{n(n+2\,p\bigr)} \ , \qquad n=2,3,4,\ldots$ (6)

Usando (4) e (6) e deixando para escolher mais tarde o valor de $ \,a_0\,$, obtemos

$\displaystyle a_{2\,n+1}=0 $

$\displaystyle a_2=-\frac{a_0}{2(2+2\,p\bigr)} \ , \quad a_4=\frac{a_0}{2\!\cdot... ...-\frac{a_0}{2\!\cdot\!4\!\cdot6\,(2+2\,p\bigr)(4+2\,p\bigr) (6+2\,p\bigr)} \ . $

Temos

$\displaystyle a_2=\frac{(-1)^n\,a_0}{1(1+p\bigr)\!\cdot\!2^2} \ , \quad a_4=\fr... ...rac{a_0}{1\!\cdot\!2\!\cdot3\,(1+p\bigr)(2+p\bigr) (3+p\bigr)\!\cdot\!2^6} \ . $

Em geral,

$\displaystyle a_{2\,n}=-\,\frac{a_0}{n!\,(1+p\bigr)(2+p\bigr)\cdots (n+p\bigr)\!\cdot\!2^{2\,n}}$ (7)

Costuma-se fazer a escolha

$\displaystyle a_0=\frac{1}{2^p\,\Gamma(1+p)} \ .$ (8)

Utilizando repetidas vezes a identidade

$\displaystyle \Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x) \ , $

temos

$\displaystyle \bigl(n+p\bigr)\cdots\bigl(2+p\bigr)\bigl(1+p\bigr)\Gamma(1+p)= \bigl(n+p\bigr)\cdots\bigl(2+p\bigr)\Gamma(2+p) $

$\displaystyle =\bigl(n+p\bigr)\cdots\bigl(3+p\bigr)\Gamma(3+p)=\cdots= \Gamma(n+p+1) \ . $

Portanto com a escolha (8), (7) se torna

$\displaystyle a_{2\,n}=-\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+p+1)\,2^{2\,n+p}} \ . $

Obtemos, finalmente, a solução

$\displaystyle y_1=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+p+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n+p} $

Esta função é chamada de função de Bessel de 1 $ ^{\underline{\rm a}}$ espécie de índice $ p$ e denotada por $ J_p(x)$:

$\displaystyle J_p(x)=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+p+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n+p} \ . $

Para $ \,p=m=0,1,2,3,\ldots\,$

$\displaystyle J_m(x)=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,(n+m)!} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n+m} \ . $

Em particular,

$\displaystyle J_0(x)=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{\bigl(n!\bigr)^2} \bigg... ...\infty\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,(n+1)!} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n+1} \ , $

$\displaystyle J_2(x)=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,(n+2)!} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n+2} \ ,$    etc.$\displaystyle $

Examinando a expresão

$\displaystyle J_0(x)=1-\frac{1}{4}\,x^2+\frac{1}{64}\,x^4+\cdots \ , $

vemos que $ J_0(x)$ é uma função par, pois só envolve potências de $ x$ com expoentes pares e satisfaz $ J_0(0)=1$.

Abaixo mostramos o gráfico da função de Bessel $ J_0(x)$ mmostrando junto, pontilhadas, as funções
            e          

para mostrar como o amplitude da função de Bessel é compará com a destas funções.



O gráfico abaixo mostra em vermelho a função $ J_0(x)$, em azul a função e em preto a função .



Obs: A equação de Bessel não muda se substituirmos $ p$ por $ -p$. Conseqüentemente $ J_p(x)$ e $ J_{-p}(x)$ são duas soluções da equação de Bessel de índice $ p$. Precisamos investigar em que casos estas duas funções são linearmente independentes.

Exemplo: Vamos obter as expansões em séries de potências das funções de Bessel $ J_\frac{1}{2}(x)\,$ e $ J_{-\frac{1}{2}}(x)\,$.

$\displaystyle J_\frac{1}{2}(x)=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n} {n!\,\Gamma(n+\frac{1}{2}+1)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n+\frac{1}{2}} \ . $

Note que, utilizando repetidas vezes a identidade $ \,\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)$, e, sabendo que $ \displaystyle\Gamma\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)=\sqrt{\pi}\,$, obtemos

$\displaystyle \Gamma(n+\frac{1}{2}+1)=\bigl(n+\frac{1}{2}\bigr)\Gamma(n+\frac{1... ...bigl(n+\frac{1}{2}\bigr)\bigl(n-\frac{1}{2}\bigr)\Gamma(n-\frac{1}{2}) =\cdots $

$\displaystyle =\bigl(n+\frac{1}{2}\bigr)\bigl(n-\frac{1}{2}\bigr) \cdots\cdot\f... ...frac{2\,n+1}{2}\cdot\frac{2\,n-1}{2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2} \sqrt{\pi} \ , $

isto é,

$\displaystyle \Gamma(n+\frac{1}{2}+1)=\frac{(2\,n+1)(2\,n-1)\cdots\cdot3\!\cdot\!1} {2^{n+1}}\,\sqrt{\pi} $

Logo

$\displaystyle J_\frac{1}{2}(x)=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n\,2^{n+1}} {n!\... ...\sqrt{\frac{1}{\pi}}\,\, \frac{x^{2\,n+\frac{1}{2}}}{2^{2\,n+\frac{1}{2}}} \ . $

Levando em conta que

$\displaystyle n!\,1\!\cdot\!3\!\cdot\!5\cdots(2\,n+1)\,2^n= 2\!\cdot\!4\!\cdot\!6\cdots(2\,n)\!\cdot\!1\!\cdot\!3\!\cdot\! 5\cdots(2\,n+1)=(2\,n+1)! \ \ , $

temos

$\displaystyle J_\frac{1}{2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\,x}}\;\;\sum_{n=0}^\infty\,\, \frac{(-1)^n}{(2\,n+1)!}\,x^{2\,n+1} $

e, finalmente,
$ \displaystyle J_\frac{1}{2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\,x}}\; \,{\rm sen}\,x$


Analogamente mostra-se que
$ \displaystyle J_{-\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\,x}}\; \cos x$


Conclusão: Para $ \displaystyle\,p=\frac{1}{2}\,$, as funções de Bessel $ \,J_\frac{1}{2}(x)\,$ e $ \,J_{-\frac{1}{2}}(x)\,$ se expressam em termos de funções elementeres, $ \displaystyle\,J_\frac{1}{2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\,x}}\; \,{\rm sen}\,x\,$ e $ \displaystyle\,J_{-\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi\,x}}\; \cos x\,$ e são duas soluções linearmente independentes da equação de Bessel de índice $ \displaystyle\,\frac{1}{2}$

$\displaystyle x^2y''+xy'+\bigl(x^2-\frac{1}{4}\bigr)y=0 \ . $


Mais geralmente, temos a seguinte

Propriedade: Se $ p$ não é um inteiro, então $ J_p(x)$ e $ J_{-p}(x)$ são duas soluções linearmente independentes da equação de Bessel de índice $ p$.
De fato, o comportamento destas funções próximo ao ponto $ \,x_0=0\,$ é dado pelo primeiro termo da série

$\displaystyle J_p(x)\approx\frac{x^p}{2^p\,\Gamma(1\!+\!p)}$    e $\displaystyle \qquad J_{-p}(x)\approx\frac{x^{-p}}{2^{-p}\,\Gamma(1\!-\!p)} \quad ,$    quando $\displaystyle \ x\longrightarrow 0 \ \ . $

Logo uma não é múltipla da outra e, portanto, são linearmente independentes.

Exemplo: Vamos mostrar que $ \,J_{-3}(x)=-J_3(x)\,$. Temos

$\displaystyle J_{-3}(x)=\sum_{n=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-3+1)} \... ...y\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-2)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n-3} \ . $

Levando em conta que

$\displaystyle \frac{1}{\Gamma(-2)}=\frac{1}{\Gamma(-1)}=\frac{1}{\Gamma(0)}=0 \ , $

temos que os 3 primeiros termos da série são nulos e o somatório pode ser começado em $ \,n=3\,$,

$\displaystyle J_{-3}(x)=\sum_{n=3}^\infty\,\,\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-2)} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,n-3} \ , $

ou, para $ \,n=k+3\,$,

$\displaystyle J_{-3}(x)=\sum_{k=0}^\infty\,\,\frac{(-1)^{k+3}}{(k+3)!\,k!} \big... ...\frac{(-1)^k}{(k+3)!\,k!} \biggl(\frac{x}{2}\biggr)^{\!\!2\,k+3}=-J_{3}(x) \ . $

Usando o mesmo argumento prova-se a

Propriedade: Para $ m=0,1,2,3,\ldots\,$,

$\displaystyle J_{-m}(x)=(-1)^m\,J_m(x) \ . $



Em resumo, provamos que:
(i)
Se $ p$ não é um inteiro, então $ J_p(x)$ e $ J_{-p}(x)$ são duas soluções linearmente independentes da equação de Bessel de índice $ p$;
(ii)
Se $ p=m=0,1,2,3,\ldots\,$, então $ J_p(x)$ e $ J_{-p}(x)$ são linearmente dependentes, mais precisamente, $ \,J_{-m}(x)=(-1)^m\,J_m(x)\,$.
Para $ p=m=0,1,2,3,\ldots\,$ precisamos encontrar uma segunda solução, linearmente independente de $ J_m(x)$. Qualquer solução da equação de Bessel de índice $ m$, linearmente independente de $ J_m(x)$, é dita uma função de Bessel de segunda espécie de índice $ p$.

Para $ p=m=0$, a equação de Bessel é

$\displaystyle x^2y''+xy'+x^2y=0 \ . $

Uma solução é $ \,y_1=J_0(x)\,$. Sabemos que podemos encontrar uma solução, linearmente independente da forma

$\displaystyle y_2=v(x)\,J_0(x) $

Substituindo na equação de Bessel,

$\displaystyle x\bigl(v''J_0+2\,v'J_0')+v'J_0=0 $

$\displaystyle v''x\,J_0+(2\,x\,J_0'+J_0)v'=0 $

que se reduz à primeira ordem fazendo $ \,z=v'$,

$\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\biggl(\frac{2\,J_0'}{J_0}+\frac{1}{x}\biggr)z \ . $

Separando as variáveis e integrando,

$\displaystyle \int\frac{dz}{z}=-\int\biggl(\frac{2\,J_0'}{J_0}+\frac{1}{x}\biggr)dx $

ou

$\displaystyle \ln z=-2\ln\left\vert J_0\right\vert-\ln x+\ln C $

$\displaystyle z=C\frac{1}{x\bigl(J_0(x)\bigr)^2} $

$\displaystyle v=C\int\frac{1}{x\bigl(J_0(x)\bigr)^2}\,dx+D $

Escolhendo $ \,C=1\,$ e $ \,D=0\,$,

$\displaystyle y_2=J_0(x)\int\frac{1}{x\bigl(J_0(x)\bigr)^2}\,dx \ . $

Por outro lado, de

$\displaystyle J_0(x)=1-\frac{1}{4}\,x^2+\frac{1}{64}\,x^4+\cdots $

segue que

$\displaystyle \bigl(J_0(x)\bigr)^2= \Bigl(1-\frac{1}{4}\,x^2+\frac{1}{64}\,x^4+\cdots\Bigr) \Bigl(1-\frac{1}{4}\,x^2+\frac{1}{64}\,x^4+\cdots\Bigr) $

$\displaystyle =1-\frac{1}{2}\,x^2+\biggl(\frac{1}{64}+\Bigl(-\frac{1}{4} \Bigr)^{\!2}+\frac{1}{64}\biggr)x^4+\cdots =1-\frac{1}{2}\,x^2+\frac{3}{32}\,x^4+\cdots $

Queremos encontrar a expansão de $ \,\displaystyle \frac{1}{\bigl(J_0(x)\bigr)^2}\,$. Como $ \,\bigl(J_0(x)\bigr)^2\,$ só envolve potências de $ x$ com expoente par, o mesmo acontece com seu inverso.

$\displaystyle \frac{1}{\bigl(J_0(x)\bigr)^2}= \frac{1}{1-\frac{1}{2}\,x^2+\frac{3}{32}\,x^4+\cdots}= b_0+b_2\,x^2+b_4\,x^4+\cdots $

Devemos ter

$\displaystyle 1=\Bigl(1-\frac{1}{2}\,x^2+\frac{3}{32}\,x^4+\cdots\Bigr) \Bigl(b_0+b_2\,x^2+b_4\,x^4+\cdots\Bigr) \ \ , $

ou, efetuando a multiplicação,

$\displaystyle 1=b_0+\Bigl(b_2-\frac{b_0}{2}\Bigr)x^2+\Bigl(b_4- \frac{b_2}{2}+\frac{3\,b_0}{32}\Bigr)x^4+\cdots \ \ . $

Da igualdade das séries, temos

$\displaystyle 1=b_0 $

$\displaystyle 0=b_2-\frac{b_0}{2} $

$\displaystyle 0=b_4-\frac{b_2}{2}+\frac{3\,b_0}{32} $

Segue que

$\displaystyle b_0=1 \quad ,\quad b_2=\frac{1}{2} \quad ,\quad b_4=\frac{5}{32} \quad ,$    etc.$\displaystyle $

Logo

$\displaystyle \frac{1}{\bigl(J_0(x)\bigr)^2}= 1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{32}\,x^4+\cdots $

Finalmente,

$\displaystyle y_2=J_0(x)\!\int\Bigl( \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\,x+\frac{5}{32}\,x... ... J_0(x)\ln x+J_0(x)\Bigl(\frac{1}{4}\,x^2+\frac{5}{128}\,x^4+\cdots\Bigr) \ . $

Note que

$\displaystyle J_0(x)\Bigl(\frac{1}{4}\,x^2+\frac{5}{128}\,x^4+\cdots\Bigr) = \B... ...}{64}\,x^4+\cdots\Bigr) \Bigl(\frac{1}{4}\,x^2+\frac{5}{128}\,x^4+\cdots\Bigr) $

$\displaystyle =\frac{1}{4}\,x^2-\frac{3}{128}\,x^4+\cdots $

Obtemos finalmente uma segunda solução para a eaquação de Bessel de índice 0, que é linearmente independente de $ \,J_0(x)$, a função

$\displaystyle y_2=Y_0(x)=J_0(x)\ln x+\frac{1}{4}\,x^2-\frac{3}{128}\,x^4+\cdots \ , $

conhecida como função de Bessel de Neumann de segunda espécie de índice 0. Como $ \,J_0(0)=1\,$, temos que

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}Y_0(x)=-\infty $

Conclusão: As únicas soluções da equação de Bessel de índice 0 que são limitadas em intervalos do tipo $ (0,a)$ são as da forma

$\displaystyle y=C\,J_0(x) \ . $



Para $ \,p=m=1,2,3,\ldots\,$ porva-se a mesma conclusão e, portanto, vale a seguinte

Propriedade: As únicas soluções da equação de Bessel de índice $ \,p=m=0,1,2,3,\ldots\,$ que são limitadas em intervalos do tipo $ (0,a)$ são as da forma

$\displaystyle y=C\,J_m(x) \ . $



A seguir mostramos em mesmo gráfico as funções $ \,J_0(x)$ e , a primeira representada por uma linha vermelha e a segunda por uma linha azul.


Eduardo Brietzke