Corda Vibrante - Exemplo 1

Consideremos uma corda vibrante de comprimento pi, presa nas extremidades, sujeita a duas condições iniciais. Matematicamente, queremos resolver a equação da onda

sujeita às condições de fronteira

e a duas condições iniciais

Como vimos em aula, a solução deste problema, pelo método de separação de variáveis, é dada por uma série. O que vamos fazer abaixo, é truncar esta série, isto é, obter uma solução aproximada do problema, considerando um certo número de termos iniciais da série, digamos, os primeiros 20 termos da série. Vamos considerar um exemplo em que as funções f(x) e g(x) que dão as condições iniciais, são dadas, concretamente.

> restart;

> with(plots):

Chamemos de u(x,t) a soma dos 20 termos iniciais da série que dá a solução do problema:

> u:=(x,t)->sum((a(n)*cos(n*t)+b(n)*sin(n*t))*sin(n*x),n=1..20);

Onde a(n) e b(n) são os coeficientes das séries de Fourier-seno de f(x) e g(x).

Portanto

> a:=n->2/(Pi)*int(f(x)*sin(n*x),x=0..Pi);

Vamos já considerar que g(x)=0, ou seja, a velocidade inicial é 0, isto é, a corda sofre uma deformação inicial e é largada, a partir do repouso. Queremos determinar, aproximadamente, qual vai ser o movimento da corda em instantes futuros.

Como g(x)=0 , temos

> b:=n->0;

Vamos agora introduzir a função f(x) , que dá o deslocamento inicial da corda, através de seu gráfico:

> f:=x->piecewise(x<alpha-delta,0,x<alpha,x-alpha+delta,x<alpha+delta,
alpha+delta-x,0);

> alpha:=1;
delta:=0.5;

> plot(f(x),x=0..Pi,scaling=CONSTRAINED,tickmarks=[4,2]);

No gráfico acima está representada a função f(x) . Na prática, este deslocamento inicial poderia ser obtido dedilhando a corda em 3 pontos.Agora que a função f(x) foi introduzida, o pacote maple pode fazer todos os cálculos que anteriormente ficaram indicados e obter explicitamente a expressão de u(x,t) . É isto o que está mostrado a seguir.

left> > u(x,t);

Note como os harmônicos mais altos quase não soam. Os coeficientes decaem rapidamente, só os primeiros são significativos.

De posse da informação da linha acima, podemos para cada t fixado (congelando o tempo), considerar o gráfico da função só de x , x ---> u(x,t) . Este gráfico é como se fosse uma foto da curva no instante t . Mas o maple nos permite mais do que isto. Podemos produzir uma sucessão de gráficos, para diversos tempos congelados. A seguir podemos animar. Mostrando estes gráficos em sequência, visualizamos aproximadamente o movimento da corda. Isto está mostrado abaixo. Note que sabemos que o período (no tempo) é 2*pi. Por isto produzimos 50 fotos, igualmente espaçadas no tempo. Como a última foto coincide coma primeira, repetindo indefinidamente o ciclo, mostramos o movimento da corda sem quebra de continuidade.

> with(plots):
animate(u(x,t),x=0..Pi,t=0..2*Pi,numpoints=200,tickmarks=[4,2],frames=50);

OBS: É possível observar que o movimento da corda é a superposição de duas ondas que viajam em direções opostas, sem sofrerem deformação, e que, cada vez que batem em uma extremidade da corda, são refletidas com a fase invertida.