Séries de Fourier - Exemplos 3

Consideremos a função - periódica que vale no intervalo

> h:=proc(x)
local q;
q:=x;
while q>Pi do
q:=q-2*Pi;
od;
q^2;
end:

> f:=proc(x)
local q;
q:=x;
while q<0 do
q:=q+2*Pi
od;
h(q)
end:

> plot(f,-12..12,tickmarks=[8,3]);

é uma função par.

> a[0]:=2/Pi*int(x^2,x=0..Pi);

> a[n]:=2/Pi*int(x^2*cos(n*x),x=0..Pi);

De modo que a serie de Fourier de

> 1/3*Pi^2+4*sum((-1)^n/n^2*cos(n*x),n=1..infinity);

Vamos fazer o gráfico de algumas somas parciais

> plot(1/3*Pi^2+4*(-cos(x)+cos(2*x)/2^2),x=-10..10,numpoints=400, tickmarks=[8,3]);

> plot(1/3*Pi^2+4*(-cos(x)+cos(2*x)/2^2-cos(3*x)/3^2),x=-10..10, numpoints=400,tickmarks=[8,3]);

> plot(1/3*Pi^2+4*(-cos(x)+cos(2*x)/2^2-cos(3*x)/3^2)+cos(4*x)/4^2, x=-10..10,numpoints=400,tickmarks=[8,3]);

Mostrando este último junto com a função:

> with(plots):
u:=plot(f,-10..10,tickmarks=[8,3],color=blue):
v:=plot(1/3*Pi^2+4*(-cos(x)+cos(2*x)/2^2-cos(3*x)/3^2)+cos(4*x)/4^2,x=-10..10, numpoints=400,tickmarks=[8,3]):
display({u,v});

Mas pegando 10 termos da soma:

> w:=plot(1/3*Pi^2+4*sum((-1)^n/n^2*cos(n*x),n=1..10),x=-10..10, numpoints=400,tickmarks=[8,3]):
display({u,w});

>

A função abaixo é uma função ímpar

> restart;
f:=x->x*(x-Pi)*(x+Pi)/12;

> plot(f(x),x=-Pi..Pi,tickmarks=[6,3]);

> 2/Pi*int(f(x)*sin(n*x),x=0..Pi);

Logo a série de Fourier da função é

> sum((-1)^n*sin(n*x)/n^3,n=1..infinity);

Tomando só os 3 primeiros termos da série já temos uma aproximação razoavelmente boa:

> plot({sum((-1)^n*sin(n*x)/n^3,n=1..3),f(x)},
x=-Pi..Pi,color=[red,blue]);

Consideremos agora a função par cujo gráfico é uma serra:

> restart;

> h:=proc(x)
local q;
q:=x;
while q>Pi do
q:=q-2*Pi;
od;
abs(q);
end:

> g:=proc(x)
local q;
q:=x;
while q<0 do
q:=q+2*Pi
od;
h(q)
end:

> plot(g,-10..10,tickmarks=[8,3]);

A série de Fourier desta função é

> Pi/2-4/Pi*sum(cos((2*k+1)*x)/(2*k+1)^2,k=0..infinity);

Pegando 2 termos do somatório:

> plot(1/2*Pi-4/Pi*(cos(x)+1/9*cos(3*x)),x=-10..10,numpoints=400, tickmarks=[8,3]);

Pegando 5 termos do somatório,

> plot(1/2*Pi-4*(cos(x)+1/9*cos(3*x)+1/25*cos(5*x)+1/49*cos(7*x)+ 1/81*cos(9*x))/Pi,x=-10..10,numpoints=400,tickmarks=[8,3]);

Passamos agora a um exemplo bem diferente, um tipo de exemplo que foi descoberto no final do seculo XIX pelo matemático Karl Weierstrass e que permite obter algo que contraria nossa intuição: funções contínuas em todos os pontos que não possuem derivada em nenhum ponto.

Com 2 termos:

> plot(0.9*cos(5*x)+0.9^2*cos(5^2*x),x=-Pi..Pi,numpoints=1000);

Com 3 termos:

> plot(0.9*cos(5*x)+0.9^2*cos(5^2*x)+0.9^3*cos(5^3*x), x=-Pi..Pi,numpoints=1000);

Com 4 termos:

> plot(0.9*cos(5*x)+0.9^2*cos(5^2*x)+0.9^3*cos(5^3*x)+ 0.9^4*cos(5^4*x),x=-Pi..Pi,numpoints=3000);

Note que a série

> sum(0.9^n*cos(5^n*x),n=1..infinity);

é de um tipo chamado de série lacunaria (é cheia de lacunas, falta a maioria dos termos, só tem termo em se for de um tipo bem especial, da forma , potência de 5).

Chamando de o coeficiente de , então, por exemplo,

, , , , .

A maioria dos são 0, mas olhando para os que não são, temos que muito lentamente. Isto explica a falta total de suavidade da função representada por esta série, pois sabemos que o grau de suavidade da função tem a ver com a velocidade de convergência para 0 dos coeficientes de Fourier.

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