Polinômios de Legendre - parte 4 - Aplicações



1. Campo Elétrico gerado por um Anel Circular


\begin{picture}(180,150) \par\put(75,40){\line(0,1){105}} \par\put(75,40){\line(... ...par\qbezier(85,50)(75,51)(65,50) \par\qbezier(35,40)(35,48)(65,50) \end{picture}     

Consideremos uma carga elétrica com densidade linear $ \lambda\,$, uniformemente distribuída sobre um anel circular de raio $ a$. Vamos considerar o problema de calcular o potencial elétrico em um ponto qualquer do espaço. Suponhamos que tenha sido colocado um sistema de coordenadas tendo a origen no centro do anel e o plano $ XY$ no plano do anel e vamos usar coordenadas esféricas. Antes de mais nada, observemos que, como a distribuição de cargas é simétrica em relação ao eixo $ Z$, o potencial elétrico resultante vai ter esta mesma simetria.
Em outras palavras, vai ser uma função $ u$, dependendo apenas das coordenadas esféricas $ r$ e $ \theta$. Vamos introduzir agora um método muito útil, que pode ser aplicado em muitos problemas com este mesmo tipo de simetria. A idéia é, numa primeira etapa, resolver o problema muito mais simples de calcular o potencial em um ponto $ \,P=(0,0,z)\,$ sobre o eixo $ Z$. A seguir utiliza-se este resultado para obter o potencial em um ponto qualquer do espaço.



        \begin{picture}(130,135) \par\put(60,5){\line(0,1){115}} \par\put(5,60){\line(1,... ...ar\qbezier(40,95)(60,106)(80,95) \par\qbezier(40,25)(60,14)(80,25) \end{picture}           

A carga elétrica sobre um pequeno arco compreendido por um ângulo $ \,d\theta\,$, contribui com uma parcela

$\displaystyle \frac{1}{4\,\pi\,\epsilon_0}\, \frac{\lambda\,a\,d\theta}{\sqrt{z^2+a^2}} $

para o potencial no ponto $ P\,$. Basta notar que $ \,a\,d\theta\,$ é o comprimneno deste arco e, em conseqüência, $ \,\lambda\,a\,d\theta\,$ a sua carga e, $ \,\sqrt{z^2+a^2}\,$ é sua distância ao ponto $ P\,$.

Segue daí, que a carga total sobre o anel gera no ponto $ P$ o potencial

$\displaystyle u(0,0,z)=\int_0^{2\,\pi}\,\frac{1}{4\,\pi\,\epsilon_0}\, \frac{\l... ...}{\sqrt{z^2+a^2}}= \frac{\lambda}{2\,\epsilon_0}\,\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}} \ . $

Por exemplo, para $ \lvert z\rvert<a\,$, desenvolvendo pela série binomial, temos

$\displaystyle u(0,0,z)=\frac{\lambda}{2\,\epsilon_0}\, \frac{1}{\displaystyle\s... ...{a^4}- \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\,\frac{z^6}{a^6}+\cdots \biggr] \ . $

Analogamente, para $ \lvert z\rvert>a\,$, temos

$\displaystyle u(0,0,z)=\frac{\lambda}{2\,\epsilon_0}\,\frac{a}{z}\, \frac{1}{\d... ...{z^5}- \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\,\frac{a^7}{z^7}+\cdots \biggr] \ . $

Agora que já temos a expressão do potencial sobre os pontos do eixo dos $ Z$, é fácil obter sua expressão em um ponto qualquer do espaço. Basta lembrar que o potencial é uma função harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace $ \,\Delta u=0\,$ e usar o fato de que as funções

$\displaystyle P_n(\cos\theta)\,r^n$    e $\displaystyle \qquad P_n(\cos\theta)\,r^{-n-1} $

são harmônicas, valendo, respectivamente, $ \,z^n\,$ e $ \,z^{-n-1}\,$ no ponto $ \;P=(0,0,z)\;$. Temos, então, que

$\displaystyle u(r,\theta)= \frac{\lambda}{2\,\epsilon_0}\biggl[1-\frac{1}{2}\,\... ...5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\, \frac{r^6}{a^6}P_6(\cos\theta)+\cdots\biggr] \ , \ $   se $\displaystyle r<a $

e

$\displaystyle u(r,\theta)= \frac{\lambda}{2\,\epsilon_0}\biggl[\frac{a}{r}- \fr... ...}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\,\frac{a^7}{r^7} P_6(\cos\theta)+\cdots \biggr] \ , \ $   se $\displaystyle r>a $





2. Potencial Gravitacional gerado por um Disco Homogêneo



\begin{picture}(180,150) \par\put(75,40){\line(0,1){105}} \par\put(75,40){\line(... ...par\qbezier(86,52)(75,53)(64,52) \par\qbezier(31,40)(31,50)(64,52) \end{picture}      

Consideremos o problema de calcular o potencial gravitacional gerado por um disco homogêneo de raio $ a$ e possuindo uma densidade superficial $ \delta\,$ (unidades de massa por unidades de área). Colocamos o sistema de coordenadas tendo a origem no centro do disco e tendo o plano $ \,XY\,$ como o plano do disco, conforme a figura. Para um ponto $ P=(x,y,z)\,\rule{0.cm}{0.4cm}$ do espaço consideramos as coordenadas esféricas $ \,r=\lvert\overline{OP}\rvert\,$ e os ângulos $ \,\theta\,$ de $ \,\overline{OP}\,$ com o eixo $ Z$ e $ \,\varphi\,$ de $ \,\overline{OQ}\,$ com o eixo $ X$. Consideremos também a coordenada cilíndrica $ \,\rho=\lvert\overline{OQ}\rvert\,$.

O primeiro passo é calcular o potencial nos pontos $ \,P=(0,0,z)\,\rule{0.cm}{0.4cm}$ sobre o eixo $ \,Z\,$. Para isto vejamos contribuição do anel formado pelos pontos cuja distância à origem fica entre $ \,\rho\,\rule{0.cm}{0.45cm}$ e $ \,\rho+d\rho\,$.
A distância de qualquer um destes pontos ao ponto $ \,P\,\rule{0.cm}{0.5cm}$ vale $ \,\sqrt{\rho^2+z^2}\,$. A área do anel vale $ \,\pi\,\bigl[(\rho+d\rho)^2-\rho^2\bigr]\approx 2\,\pi\,\rho\,d\rho\,$. Logo a massa do anel é, aproximadamente, $ \,2\,\pi\,\rho\,\delta\,d\rho\,$. Portanto a contribuição deste anel para o potencial gravitacional no ponto $ \,P\,\rule{0.cm}{0.4cm}$ é

$\displaystyle 2\,\pi\,G\,\delta\,\frac{\rho\,d\rho}{\sqrt{\rho^2+z^2}} \ . $

       \begin{picture}(180,150) \par\put(75,40){\line(0,1){105}} \par\put(75,40){\line(... ...par\qbezier(86,52)(75,53)(64,52) \par\qbezier(31,40)(31,50)(64,52) \end{picture}
Somando todas estas contribuições, obtemos a expressão do potencial gravitacional gerado no ponto $ \,P\,$ pelo disco todo

$\displaystyle u=2\,\pi\,G\,\delta\int_0^a\frac{\rho\,d\rho} {\sqrt{\rho^2+z^2}} \ . $

Calculando a integral obtemos

$\displaystyle u(0,0,z)=2\,\pi\,G\,\delta\left.\sqrt{\rho^2+z^2}\, \right\vert _{\rho=0}^{\rho=a}=2\,\pi\,G\,\delta\Bigl[\bigl( a^2+z^2\bigr)^\frac12-z\Bigr] $

Para $ \,\lvert z\rvert>a\,$, tem-se

$\displaystyle u(0,0,z)=2\,\pi\,G\,\delta\,z\biggl[\biggl( 1+\frac{a^2}{z^2}\biggr)^\frac12-1\biggr] \ . $

Usando a série binomial, obtém-se

$\displaystyle u(0,0,z)=2\,\pi\,G\,\delta\,z\biggl[\frac{1}{2}\,\frac{a^2}{z^2}-... ...frac{a^4}{z^4}+ \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6}\,\frac{a^6}{z^6}- \cdots\biggr] $

$\displaystyle =2\,\pi\,G\,\delta\biggl[\frac{1}{2}\,\frac{a^2}{z}- \frac{1}{2\c... ...c{a^4}{z^3}+ \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6}\,\frac{a^6}{z^5}- \cdots\biggr] \ . $

O potencial que estamos buscando é uma função harmônica e seus valores nos pontos $ \,P=(0,0,z)\,$, com $ \,\lvert z\rvert>a\,$ (esta condição garante que a série converge), estão dados acima. Lembrando que a função

$\displaystyle \frac{P_n(\cos\theta)}{r^{n+1}} $

é harmônica e coincide com

$\displaystyle \frac{1}{z^{n+1}} $

nos pontos $ \,P=(0,0,z)\,$ sobre o eixo $ Z$, concluímos que, para $ \,r>a\,$,

$\displaystyle u=u(r,\theta,\varphi)=2\,\pi\,G\,\delta \biggl[\frac{1}{2}\,\frac... ...!3}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\, \frac{a^6P_5(\cos\theta)}{r^5}- \cdots\biggr] \ . $

Analogamente mostra-se que, para $ \,r<a\,$,

$\displaystyle u(r,\theta,\varphi)=2\,\pi\,G\,\delta\,a \biggl[1-\frac{rP_1(\cos... ...^2P_2(\cos\theta)}{a^2}- \frac{1}{2\!\cdot\!4}\,\frac{r^4P_4(\cos\theta)}{a^4} $

$\displaystyle +\frac{1\!\cdot\!3}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\, \frac{r^6P_6(\cos\theta)}{a^6}- \cdots\biggr] \ . $


Observações sobre o modelo físico. O raciocínio feito para o potencial gravitacional seria exatamente o mesmo para o caso de um potencial elétrico. Do ponto de vista matemático, não há diferença alguma. Ambos os campos são inversamente proporcionais ao quadrado da distância. Apenas, do ponto de vista físico, não é muito natural considerarar uma distribuição homogênea de cargas elétricas sobre um disco de material condutor. A carga não se distribuiria de maneira homogênea sobre o disco e sim de modo a tornar constante o potencial sobre o disco.

Com relação ao potencial gravitacional, poderíamos pensar no disco como sendo o disco de uma galáxia, e, inclusive, fazer os cálculos utilizando outras distribuições de massa sobre este disco. Fica aqui a sugestão.


Eduardo H. M. Brietzke