Atividades Propostas

Estas atividades requerem conhecimentos prévios de geometria espacial como: poliedros, prismas, pirâmides, esferas, arestas, volumes, superfícies e outros. Além disso devem ser resolvidas em grupos de 3 a 4 alunos, exceto na atividade 3 que devem ser resolvidas em duplas.
 

Atividade 1: Exploração e observação

a) Material utilizado: sólidos confeccionados em massa de modelar e faca. É importante que o material seja confeccionado pelo professor para garantir seções aproximadas de figuras descritíveis.
Cada grupo receberá um sólido e uma faca. Pede-se que o sólido seja dividido em dois por um único corte. Serão feitas observações sobre como foi feito o corte e o resultado do mesmo. Nestas observações serão anotados itens da seção gerais e específicos, além de observações sobre os sólidos obtidos da divisão pelo corte. Cada grupo deve apresentar suas observações e discuti-las com a turma.
 Após esta atividade define-se seção plana como interseção de um plano secante a um sólido e esse sólido.
 

Exemplo: Suponha que um determinado grupo fez um corte meridional em um cilindro circular reto.
Um possível relatório para a observação seria:
  - Descrição do corte: é um corte que passa no centro da base e é perpendicular à base.
  - Descrição da seção: É uma figura plana conhecida. É um retângulo de lados  3cm (diâmetro da base) e 5cm (geratriz do retângulo). A altura do retângulo é a mesma do cilindro. A área é 15cm² e o perímetro é 16cm.
  - Descrição dos novos sólidos: São sólidos congruentes, com volume igual a metade do cilindro original e área total igual a metade da área do cilindro original mais a duas vezes a área do retângulo.

É importante o professor auxiliar na confecção do relatório para fatos importantes não serem esquecidos, como a altura do retângulo ser a mesma do cilindro. Além disso, durante a discussão com a turma podem surgir outras observações, como a área total dos dois sólidos novos somada ser maior que a área do cilindro original.

b) Material utilizado: Pares de sólidos confeccionados em papel cartaz ou cartolina. Eles devem ser resultantes da decomposição de outros sólidos por uma seção plana.
Cada grupo recebe um par de sólidos. Pede-se que unam os sólidos “colando” as faces que podem ser justapostas. Serão feitas observações sobre o novo sólido e a seção, ou seja, as “faces coladas”. Os grupos apresentam suas conclusões e discutem com a turma.
Exemplo: Suponha que um cubo secionado por um plano paralelo a uma das faces passando pelo ponto médio de uma aresta origina um par de sólidos e que um grupo os receba.

Um possível relatório para a observação seria:

- Descrição do novo sólido: 1º - unindo as faces quadradas obtemos um cubo. Este cubo tem área total igual a duas vezes a área total de uma das partes menos duas vezes a área do quadrado. 2º - unindo as faces retangulares obtemos um prisma retangular reto. Sua área total é igual a duas vezes a área total de uma das partes menos duas vezes a área do retângulo. Quando unimos os quadrados não obtemos nenhuma figura nova nas faces, mas quando unimos os retângulos uma nova face é criada: um retângulo maior.
- Descrição da seção: 1º - secionando um cubo por um plano paralelo a uma das faces passando pelo ponto médio de uma aresta obtemos um quadrado.

É importante novamente o professor salientar os pontos importantes, como não ser preciso descrever que a seção passa por quatro pontos médios. E podem surgir comentário dos colegas como o volume de todos os novos sólidos serem iguais.
Devemos notar que nestas atividades é sempre possível unir e separar as peças , não exigindo prever ou justificar a previsão de seções e novos sólidos.
 

Atividade 2: Previsão e justificativa

Material utilizado: sólidos não separáveis confeccionados em material transparente.
Cada grupo receberá um sólido e uma folha de questões (específicas por sólido). As questões versarão sobre previsão e justificativa de seções no sólido dado. Os alunos deverão apresentar suas conclusões e discuti-las com a turma.
 


Exemplo: Suponha que um grupo receba um cone circular reto.
Uma possível folha de questões com as respectivas respostas seria:
1) Um plano corta o cone perpendicularmente à base passando pelo vértice. Qual é a seção plana? Explique.
 É um triângulo isósceles. Um lado é o diâmetro da base do cone e os outros são a geratriz. Pois quando um plano corta um cone desta forma deve passar pelo centro da base.
2) Pegue uma régua e meça o diâmetro da base e a geratriz. Qual a altura do cone?
 A geratriz mede 15cm e o diâmetro da base 10cm. Usando o teorema de pitágoras podemos calcular a altura do cone que é a raiz quadrada de 250.
3) Um plano corta o cone paralelamente à base passando pelo ponto médio da geratriz. Descreva o corte de outra maneira e diga qual é a seção.
 Um plano corta o cone perpendicularmente à altura passando pelo ponto médio da geratriz. A seção é um círculo.
4) É possível calcular a área deste círculo? Explique.
 Sim, basta usar semelhança de triângulos.

Note que nesta atividade ainda é possível manusear o sólido, mas não separá-lo. A tarefa de prever seções ainda possui um referencial concreto. Como o projeto visa o ensino médio é preciso também prever sem esse referencial.
 

Atividade 3: Final

Não é necessário material concreto, será resolvida apenas uma lista de exercícios como no exemplo.

Exemplos de exercícios:

1) Dois planos cortam um prisma hexagonal regular perpendicularmente à base passando por vértices da base opostos.
   a) Sabendo que o volume do prisma hexagonal é 30m³, qual o volume dos maiores sólidos resultantes da separação pelos cortes? (2/6)*30=10m³
   b) Qual é a área lateral dos menores sólidos? Metade da área lateral do prisma hexagonal.

2) Um tetraedro regular é secionado por um plano que passa pelos pontos médios de quatro arestas. Qual é a seção e qual seu perímetro?
É um quadrado de lado igual à metade da aresta do tetraedro e portanto perímetro igual a duas arestas do tetraedro.

3) Secionando um cilindro circular por um plano que não corte a base quais são as possíveis seções?
Elipses, particularmente círculos, se o corte for paralelo à base.

Procedimentos para avaliação

 A avaliação pode ser feita ao final de cada atividade de acordo com seu desenvolvimento ou utilizar a última lista de exercícios como teste.

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