Map0003P: Métodos Numéricos para E.D.
Estudo de Caso: derivação numérica usando tabelas

Problema: dada um conjunto de dados $\{(x_0,y_0),(x_1,y_1), \dots , (x_n,y_n)\}$ de duas variáveis $x$ e $y$, onde sabemos que $y$ é função de $x$, e dado um valor $u$ que esteja ENTRE ao menos dois dos valores $x_i$ mencionados, queremos encontrar, numericamente, o valor da taxa de variação $dy/dx$ quando $x=u$, ou seja, queremos calcular a derivada de uma função (que talvez não conheçamos), em $x=u$.

Vamos supor que os pontos $x_0,x_1,\dots,x_n$ são igualmente espaçados, e que o valor desse espaçamento é $h$, isto é, $$x_i = x_0 + i h, i=0,1,2,\dots, n$$ .

Assim, definimos a diferença finita ascendente (de primeira ordem) de $f$ no ponto $x_i$ por

$$\triangle f (x_i) = f(x_{i+1})-f(x_i).$$

A seguir, definimos diferenças finitas ascendentes de ordem mais alta recursivamente:

$$\triangle^k f(x_i) = \triangle^{k-1} f(x_{i+1})-\triangle^{k-1} f(x_i)$$, $k=2,3,\dots$

A fórmula de Newton via diferenças divididas para o polinômio interpolador de grau $\leq n$ sobre um conjunto de dados $(x_i,f(x_i)),i=0,1,\dots,n$ é dada por

$$\phi(u) = \sum_{k=0}^n \triangle^k f(x_0) \left(\begin{array}{c} s \\ k \end{array} \right) \ , \ s = \frac{u-x_0}{h}$$

onde

$$\left(\begin{array}{c} s \\ 0 \end{array} \right) = 1$$, $$\left(\begin{array}{c} s \\ k \end{array} \right) = \frac{s(s-1)\dots(s-(k-1))}{k!}$$ , e $\triangle^0 f(x_0)=f(x_0)$.

Colocando em uma única expressão, com os 6 primeiros termos:

$$\Phi(u) = f(x_0) + \triangle f (x_0) s + \triangle^2 f(x_0) \frac{s(s-1)}{2} + \triangle^3 f (x_0) \frac{s(s-1)(s-2)}{6} +$$

$$+ \triangle^4 f (x_0) \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)}{24} + \triangle^5 f (x_0) \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)(s-4)}{120} + \dots +$$

e assim, usando regra da cadeia e o pacote Maple para derivar em relação a $s$,

$$\Phi'(u) = \frac{1}{h} \left[ \triangle f (x_0) + \frac{\triangl... ...aystyle \frac{\triangle^3 f (x_0)}{6} \left( 3s^2 - 6s + 2 \right) + \right.$$

$$+ \left. \frac{\triangle^4 f (x_0)}{24}\left( 4s^3-18s^2+22s-6\ri... ...^5 f (x_0)}{120}\left( 5s^4-40s^3+105s^2-100s + 24 \right) + \dots + \right]$$

Exemplo: Abaixo relacionamos a temperatura $T$ (Celsius) com a pressão de vapor $P$(Psig) do gás R134-A:

$T$	-9	-6	-3	0	3
$P$	12.21	15.59	19.31	23.37	27.79

Queremos interpolar $P$ e dP/dT para $T = -2$ graus Celsius.

Solução: Temos $h=3$, $s=(-2+9)/3=2.33333$, e uma tabela de diferenças finitas ascendentes

12.21	3.38	0.34	0.00	0.02
15.59	3.72	0.34	0.02
19.31	4.06	0.36
23.37	4.42
27.79

e assim

$$\phi(-2) = 12.21 + 3.38 s + 0.34 s(s-1)/2 + (0) s(s-1)(s-2)/6 +$$

$+ 0.02 s(s-1)(s-2)(s-3)/24= 20.624979$

$$\phi'(-2) = \frac{1}{3} \left[ 3.38 + 0.34 (2s-1)/2 + (0) (3s^2 -6s + 2)/6 + \right.$$

$\left. + 0.02 (4s^3-18s^2+22s-6)/24 \right]=1.33393$