Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01097 - Seminario Integrador I

Exercıcio: comportamento final de uma função

Na disciplina de Cálculo, você certamente já aprendeu como usar a informação da função derivada $f'(x)$ no traçado do gráfico de $f(x)$, sobretudo através da identificação de intervalos de crescimento, decrescimento, e concavidades, bem como através da identificação de pontos extremos relativos e absolutos.

Nosso objetivo aqui é usar informação sobre o comportamento final de uma função, dado pelo limite no infinito tanto de $f(x)$ quanto de $f'(x)$, quando possıvel.

Existência de limites no infinito caracteriza assıntotas horizontais.

Toda vez que

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = L_E \in {\mathbb{R}}$$

isto é, que o limite no infinito, à esquerda, existe, então sabemos que a reta $y = L_E$ é uma assintota à esquerda para o gráfico de $f$. Analogamente, toda vez que

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L_D \in {\mathbb{R}}$$

isto é, que o limite no infinito, à direita, existe, então sabemos que a reta $y = L_D$ é uma assintota à direita para o gráfico de $f$.

Exemplo 1: $f(x) = \sqrt{ x^6 + 6 x^3 } - x^3$, $x > 0$

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^6+6x^3} - x^3$$

mas como

$$\sqrt{x^6+6x^3} - x^3 = \frac{(\sqrt{x^6+6x^3} - x^3 ) (\sqrt{x^6+6x^3} + x^3)}{ \sqrt{x^6+6x^3} + x^3} =$$

$$\frac{x^6 + 6 x^3 - x^6}{ \sqrt{x^6+6x^3} + x^3 } = \frac{6x^3}{\sqrt{x^6 + 6 x^3} + x^3} = \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x^3}} + 1}$$

fica então claro que

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 3$$

e que então a reta $y = 3$ é uma assintota à direita do gráfico de $f$.

$\Box$

Informação sobre o limite no infinito de $f'(x)$ pode não ajudar.

Não há relação entre os fatos abaixo, embora possa parecer:

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \mbox{ existe } \hspace{1cm} : \hspace{1cm} \lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) = 0$$

Exemplo 2: considere a mesma $f$ do Exemplo 1, $f(x) = \sqrt{ x^6 + 6 x^3 } - x^3$, $x > 0$.

A função derivada é então

$$f'(x) = \frac{6 x^5 + 18x^2}{2\sqrt{x^6 + 6 x^3}} - 3x^2 = \frac{3 x^5 + 9x^2}{\sqrt{x^6 + 6 x^3}} - 3x^2$$

e assim

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} ... ...w \infty} \frac{3 x^5 + 9x^2 - 3x^2 \sqrt{x^6 + 6 x^3}}{\sqrt{x^6 + 6 x^3}} =$$

$$= \lim_{x \rightarrow \infty} 3x^2 \cdot \frac{ x^3 + 9 - \sqrt{... ...}} \cdot \frac{ (x^3 + 9)^2 - (x^6 + 6 x^3)} { x^3 + 9 + \sqrt{x^6 + 6 x^3}} =$$

$$= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2 + \frac{6}{x}}}... ...}}} \cdot \frac{ 12 + 81/x^3} { 1 + 9/x^3 + \sqrt{ 1 + 6/x^3}} = 0 \cdot 6 = 0$$

Exemplo 3: considere $$f(x) = 2 + \frac{ \mbox{sen} (x^2) }{x}, x > 0$$.

Temos $$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 2$$ mas não é verdade que $$\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)=0$$, pois

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)= \lim_{x \rightarrow \infty} 2 \cos(x^2) - \frac{\mbox{sen} (x^2)}{x^2}$$

que não existe.

Exemplo 4: considere $$f(x) = \ln(x)$$. Temos

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$$

mas não é verdade que $$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) \mbox{ existe }$$.

Entretanto, se o limite no infinito de $f'(x)$ existir e for não nulo, então não é possıvel $$\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)$$ existir.

Para ver isso, observe que

$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \f... ...ty} \frac{e^x (f(x) + f'(x) )}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) + f'(x)$$

e então temos uma contradição se $$\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x) \neq 0$$ e $$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L$$. Esse breve resultado também implica que, se $$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L$$ e soubermos que $$\lim_{x \rightarrow \infty} f'(x)$$ existe, então podemos garantir que esse último limite é nulo.