Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01097 - Seminario Integrador IExercıcio: comportamento final de uma função
Na disciplina de Cálculo, você certamente já aprendeu como usar a informação da função derivada
no traçado do gráfico de
, sobretudo através da identificação de intervalos de crescimento, decrescimento, e concavidades, bem como através da identificação de pontos extremos relativos e absolutos.
Nosso objetivo aqui é usar informação sobre o comportamento final de uma função, dado pelo limite no infinito tanto de
quanto de
, quando possıvel.
Existência de limites no infinito caracteriza assıntotas horizontais.
Toda vez que
isto é, que o limite no infinito, à esquerda, existe, então sabemos que a retaé uma assintota à esquerda para o gráfico de
. Analogamente, toda vez que
isto é, que o limite no infinito, à direita, existe, então sabemos que a retaé uma assintota à direita para o gráfico de
.
Exemplo 1:
,
mas como![]()
fica então claro quee que então a retaé uma assintota à direita do gráfico de
.
![]()
![]()
Informação sobre o limite no infinito depode não ajudar.
Não há relação entre os fatos abaixo, embora possa parecer:
Exemplo 2: considere a mesma
do Exemplo 1,
,
.
A função derivada é então
e assim![]()
![]()
Exemplo 3: considere
.
Temos
mas não é verdade que
, pois
que não existe.
![]()
Exemplo 4: considere
. Temos
mas não é verdade que.
Entretanto, se o limite no infinito deexistir e for não nulo, então não é possıvel
existir.
Para ver isso, observe que
e então temos uma contradição see
. Esse breve resultado também implica que, se
e soubermos que
existe, então podemos garantir que esse último limite é nulo.
Joao Batista Carvalho 2013-07-01