Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01097 - Seminario Integrador I

Exercıcio: modelagem usando funções trigonométricas.

As funções trigonométricas básicas seno e cosseno possuem propriedades necessárias na descrição de muitos fenômemos fisicos, sobretudo naqueles onde existem oscilações com posições de equilıbrio, frequências, deslocamento de fase e amplitudes.

Matematicamente, uma dependência da forma

$$y = f(t) = A \mbox{sen} \, ( w t + \phi) + B$$

contém (prevê) as seguintes propriedades:

• $B$ : posição de equilıbrio ou simetria da oscilação
• $A$ : amplitude da oscilação;
• $w$ : frequência da oscilação;
• $\phi$: deslocamento de fase;

onde lembramos que, se $$w \triangle t = 2 \pi$$, então $T = \triangle t$ (positivo) é o menor perıodo de $f$, no sentido que $$f(t + T) = f(t)$$ para todo $t \in {\mathbb{R}}$. Por outro lado,

$$\mbox{sen} \, (wt + \phi) = \mbox{sen} \, (wt)\cos(\phi)+\cos(wt)\mbox{sen} \, (\phi)$$

e assim podemos também escrever uma expressão que é mais conveniente em algumas situações:

$$y = A_1 \cos(wt) + B_1 \mbox{sen} \, (wt) + C_1$$

com $A_1 = A \mbox{sen} \, (\phi)$ , $B_1 = A \cos(\phi)$, $C_1 = B$.

Nesse exercıcio, queremos encontrar valores para $A,w,\phi,B$ tais que $$y=A \mbox{sen} \, (wt + \phi)+B$$ ajusta-se a descrição gráfica abaixo:

Primeiramente, como a oscilação ocorre entre $-2$ e $3.6$, temos

$$\left\{ \begin{array}{rl} A & +B = 3.6 \\ -A & +B = -2 \end{array} \right\} \Rightarrow B = 0.8, A = 2.8$$.

Além disso, como a função deve ter menor perıodo $T = 1$, temos

$$w (1) = 2 \pi \Rightarrow w = 2 \pi$$. Finalmente, para $t = 0$, a função deve ter valor $2.2$, e assim

$$2.8 \mbox{sen} \, (2\pi + \phi) + 0.8 = 2.2 \Rightarrow \mbox{sen} \, (\phi)= \frac{1.4}{2.8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{6}$$

e, finalmente, temos $$y = 2.8 \mbox{sen} \, ( 2\pi t + \pi/6) + 0.8$$, ou ainda,

$$y = 1.4 \cos(2\pi t) + 1.4 \sqrt{3} \ \mbox{sen} \, (2\pi t) + 0.8$$