Mat01097- Seminário Integrador I - UFRGS
Prof. João Batista CarvalhoExercício: otimização e aplicação a economia
Na disciplina de Cálculo, você certamente já estudou como encontrar e classificar máximos e mínimos de uma função
em um intervalo
, finito ou infinito. Ressaltaremos aqui aplicação à Análise Marginal, muito importante em economia.
A Análise Marginal, em economia, tem por objetivo encontrar níveis de produção ótimos de uma manufatura, que são aqueles que maximizam o retorno (lucro) da atividade produtiva, a fim de garantir que ela seja viável. Aqui
será chamado de nível de produção. Muitas vezes, e por simplicidade,
estará associado ao número de unidades manufaturadas de um produto em um determinado período de tempo fixado. Associados a
, consideramos
todas elas correspondentemente ao período de tempo estabelecido. Se todas as
: custo total de produção de
unidades;
: receita total da venda dessas
unidades;
: lucro total obtido com a venda das
unidades;
unidades forem vendidas, então
e procuramos por máximos absolutos deem algum intervalo que determine, e possivelmente restrinja, os níveis de produção
possíveis. Apesar de
normalmente ser uma variável que assume valores inteiros, temos dois caminhos possíveis para resolver o problema de otimização associado:
- consideramos
como real na formulação e arredondamos ao inteiro mais próximo, se necessário, ao final do procedimento matemático desenvolvido na disciplina de Cálculo, que essencialmente procura entre os
tais que
, entre outros possíveis;
- aplicamos a chamada Análise Marginal, que define as quantidades (derivadas)
e
como receita marginal e custo marginal, respectivamente. Essas quantidades são interpretadas como receita e custo que resultam da alteração do nivel de produção de
para
. Níveis de produção ótimos
são tais que
para
e
para
;
Analisaremos a solução do seguinte problema, usando tanto a estratégia 1 quanto a estratégia 2.
Um atelier produz réplicas de quadros semi-famosos para um mercado de colecionadores. Os direitos autorais sobre determinada pintura custaram
unidades monetárias, ao passo que o custo para produção de cada réplica é de apenas
unidades monetárias. Já para o preço unitário de venda
, quando maior o número
de réplicas, muito menor é o valor pago pelos colecionadores. Estima-se que o preço unitário de venda para cada obra seja
. Encontre o número ótimo de replicas, o respectivo preço unitário e o lucro máximo.
Solução:Temos
, e
, o que implica
por causa da restrição do preço, claramente não vale a pena produzir mais do queréplicas, e portanto procuramos maximizar a função
acima no intervalo
.
Estratégia 1:
e então temos um único ponto críticoque verifica
, que arredondamos para
. Esse ponto crítico é um máximo local pelo Teste da Derivada Primeira (a função derivada troca de sinal, passando de positiva para negativa).
Para encontrar máximo absoluto em
: procuramos na tabela
e temos
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0 -10000 60 -330(60)-10000 27 25640 corresponde a
,
.
Estratégia 2: Receita e custos marginais são, respectivamente:
e assim analisamos a tabela
e temos a solução
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![]()
1 2900. 330. 16 1400. 330. 2 2800. 330. 17 1300. 330. 3 2700. 330. 18 1200. 330. 4 2600. 330. 19 1100. 330. 5 2500. 330. 20 1000. 330. 6 2400. 330. 21 900. 330. 7 2300. 330. 22 800. 330. 8 2200. 330. 23 700. 330. 9 2100. 330. 24 600. 330. 10 2000. 330. 25 500. 330. 11 1900. 330. 26 400. 330. 12 1800. 330. 27 300. 330. 13 1700. 330. 28 200. 330. 14 1600. 330. 29 100. 330. 15 1500. 330. 30 0. 330. , que corresponde a
e
unidades monetárias.
Joao Batista Carvalho 2013-07-08