Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01097 - Seminário Integrador I

Exercício 2 : Modelagem da periodicidade usando funções compostas.

PEDE-SE encontrar uma função $\phi$ que descreva a tabela

$x$	0	1	2	4	5	6	8	9	10	12
$y$	1.2	2	1.6	1.2	2	1.6	1.2	2	1.6	1.2

sendo $y = \phi(x)$.

Solução: Como os dados exibem periodicidade, sabemos que $\phi$ deve ser uma função periódica. Lembramos que o menor período de uma função $f$ é um $T$ positivo tal que $f(x+T) = f(x)$ para todo $x$ no domínio de $f$. Nossa tabela revela uma função que tem menor período $T=4$.

Nossa estratégia aplica o seguinte resultado: se uma função $f(x)$ é periódica e tem menor período $T$, então para qualquer função $g$ , a função composta $h(x) = g ( f(x) )$ é periódica e possui menor período $T$. Para tal, sejam

• $$f(x) = x - 4 \lfloor x/4 \rfloor$$, onde $$\lfloor \cdot \rfloor$$ é a função solo de $x$;
• $$g(s) = A s^3 + B s^2 + C s + D$$ com constantes $A,B,C,D$ calculadas tal que $g(0)=g(4)=1.2$, $g(1)=2$ e $g(2)=1.6$.

Mostre que:

• $$f(x)$$ tem domínio em toda reta, tem menor período $4$, e tem como imagem o intervalo $[0,4]$.
• constantes $A,B,C,D$ satisfazem $D=6/5$
  $$\left[ \begin{array}{ccc} 1& 1& 1 \\ 8& 4& 2 \\ 64& 16& 4 \... ...ay} \right] = \left[ \begin{array}{c} 4/5 \\ 2/5 \\ 0 \end{array} \right]$$
  e então $$A = \frac{1}{6}$$, $$B = \frac{-11}{10}$$, $$C = \frac{26}{15}$$.

A figura abaixo mostra gráfico da função composta $h$. Foi gerado em MATLAB.

A figura abaixo compara a solução obtida usando a estratégia acima com a obtida no primeiro exercício sobre periodicidade .