Como podemos dividir usando somas e produtos
Objetivo: em máquinas digitais, as operações de soma e produto de números, em aritmética ponto-flutuante, são implementadas em hardware. Todas as outras operações numéricas, incluindo a própria divisão ponto-flutuante, devem ser implementadas usando somas e produtos. Desenvolveremos fundamentação matemática para a divisão usando somas e produtos.
Imaginando o contexto de um sistema ponto-flutuante generalizado FL(B,p,L,U), em que números reais são representados na forma normalizada, sejam dois números
Estratégia colegial:
Um método que pode ser usado para calcular o inverso de um número
dado é escrever
como
Exercício: calcular a divisão ponto-flutuante .
Temos ,
,
,
e então
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0 | 1. | 7 | 1.3754734 |
1 | 1.273 | 8 | 1.3755042 |
2 | 1.347529 | 9 | 1.3755127 |
3 | 1.3678754 | 10 | 1.375515 |
4 | 1.37343 | 11 | 1.3755156 |
5 | 1.3749464 | 12 | 1.3755158 |
6 | 1.3753604 | 13 | 1.3755158 |
Estratégia oficial: observamos que , o inverso
multiplicativo de
, satisfaz o problema de raízes
. A aplicação do Método de Newton
então produz
Escolhemos e menor que o valor exato de
, para que então
e
, e a
convergência esteja garantida pelo Critério de Fourier.
Por outro lado, se , temos
e então é seguro usar .
Exercício: calcular a divisão ponto-flutuante .
Temos ,
,
,
. A sequência
NR é
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0 | 1 | 3 | 1.3754734 |
1 | 1.273 | 4 | 1.3755158 |
2 | 1.3678754 | 5 | 1.3755158 |