Mat01099 - Seminário Integrador III - UFRGS

Prof. João Batista Carvalho

Matrizes 1: matrizes quadradas, tipos e propriedades. Direções invariantes.

Ref.: David Luenberger. "Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models and Applications", John Wiley and Sons, Inc. New York, 1979.

Ref.: http://mathinsight.org/relationship_determinants_area_volume

Topicos abordados:

$\bullet$ Para que servem ? Enumerar aplicações conhecidas.

$\bullet$ Sistemas lineares $Ax=b$, caracterização da existência de soluções segundo Ensino Médio e segundo a Álgebra Linear do Ensino Superior.

$\bullet$ Determinantes, áreas e volumes. Matrizes singulares, conexão com áreas, volumes e dependência linear. Exemplos com

$A=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right] , B=\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right]$

Como podemos calcular determinante de uma matriz ? Para quê finalidade ?

$\bullet$ Transformações lineares e matrizes. Rotações no plano. Alongamentos e contrações de um vetor, mudança de sentido. Matrizes singulares.

$\bullet$ Direções invariantes.

Dada uma matriz $A \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$, uma direção invariante é determinada por um vetor $x^{*} \in {\mathbb{R}}^{n}$ tal que $A x^{*} = \mu x^{*}$, onde $\mu \in {\mathbb{R}}, \mu \neq 0$. Mais precisamente:

${\cal D} = \{ x \in {\mathbb R}^n : x = \gamma x^{*}, \gamma \in {\mathbb R}\}$.

Por exemplo , para $A = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right],$ temos

$$\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right] \left... ... \beta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]$$

o que é possível para $\alpha, \beta \neq 0$ somente se $\mbox{ det } (A) = (2-\mu)(1-\mu)-1 = \mu^2 - 3\mu + 1 = 0$, cujas soluções são $$\mu_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \ , \ \mu_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$$.

Temos, portanto, duas direções invariantes para $A$:

$\mu=\mu_1$ : $$\beta = (\mu-2) \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \alpha$$, e assim

$$\left[ \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right] = \l... ...\Rightarrow x^{*} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ \sqrt{5}-1 \end{array} \right]$$

$\mu=\mu_2$ : $$\beta = (\mu-2) \alpha = \frac{-\sqrt{5}-1}{2} \alpha$$, e assim

$$\left[ \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right] = \l... ...Rightarrow x^{*} = \left[ \begin{array}{c} -2 \\ \sqrt{5}+1 \end{array} \right]$$

$\bullet$ Definições de matrizes: simétricas, positivas definidas, indefinidas , semi-definidas. Exemplos numéricos.