Mat01099 - Seminário Integrador III - UFRGS
Prof. João Batista Carvalho
Matrizes 2: Transformações, autovalores e diagonalização .
Ref.: David Luenberger. Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models and Applications, John Wiley and Sons, Inc. New York, 1979.
Autovalores. Um escalar complexo
é autovalor de uma matriz
se existe um vetor não nulo
(o autovetor associado a
) tal que
. Todo autovetor associado a um autovalor real determina uma direção invariante da matriz.
Propriedades.
- P1.
- autovalores
de uma matriz
satisfazem a equação polinomial
;
- P2.
- uma matrix
é singular se e somente se possui um autovalor
;
- P3.
- autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes;
Justificativas:
P1:
. Para que equação homogênea tenha solução não-nula, a matriz de coeficientes deve ser singular, isto é, deve ter determinante nulo. Além disso, pode-se mostrar que
é um polinômio de grau
em
, onde
é a ordem de
. Exemplos em Scilab e Maple.
P2: Se
é singular: existe
tal que
, mas então
, onde
. Por outro lado, se
é autovalor, então existe
tal que
, o que implica que
é singular.
P3: Supõe que temos
onde os
's são distintos. Por contradição, supõe que temos, para algum
:
Entãoé linearmente dependente mas
é linearmente independente.
é uma combinação linear de
:
. Além disso, como
é autovalor associado a
:
e como, por hipótese, o conjunto![]()
é linearmente independente, temos
. Como os termos em parênteses nunca são iguais, deveremos ter
, e então
, o que contradiz o fato de
ser autovalor de
.
Dessa forma, não pode haver tal
.
Mostraremos agora que
é LI. Por contradição, se
, então
contradição. Segue que![]()
é LI. Por indução, concluímos que
é LI, e assim por diante.
Decomposição espectral. Se uma matriz
possui um conjunto de autovetores
linearmente independente, então para
, segue
e então![]()
, e como
é não-singular:
ou ainda(decomposição espectral)
Uma matriz(diagonalização).
que possui base de autovetores é portanto diagonalizável. Uma matriz
que não possui base de autovetores (e como consequência não pode ser diagonalizada) é chamada de defeituosa (defective).
Consequências: Potências e funções analíticas de matrizes. Seja
uma matriz diagonalizável.
,
. Dessa forma:
- potências de uma matriz
diagonalizável convergem para a matriz nula se e somente se seus autovalores são todos interiores ao círculo unitário, no plano complexo. Exemplo:
, mostre que
;
- Se ao menos 1 dos autovalores de uma matriz
diagonalizável tiver magnitude maior do que 1, então a sequência
é ilimitada ao
crescer. Exemplo:
, mostre que
.
- Se o autovalor de maior magnitude de uma matriz
diagonalizável estiver na fronteira do círculo unitário (
) então a sequência
é limitada ao
crescer, mas não converge para a matriz nula. Exemplo:
, onde
(grupo cíclico) ou
(grupo acíclico).
Joao Batista Carvalho 2014-05-01