Mat01169 - UFRGS

Exemplo de método numérico iterativo e determinístico

Muito conhecida é a Série do Arco-tangente vista em Cálculo:

$$\mbox{atan} (x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} +\dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2n+1} \ , \ -1 \leq x \leq 1$$

e que implica na Série de Leibniz para Pi:

$$\frac{\pi}{4} = \mbox{atan} (1) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} +\dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$$

e assim

$$\pi = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n$$ onde $$s_n = \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{2i+1}$$.

Medindo a evolução da exatidão, seja

$$d_n = digse(s_{n-1},s_n) = -log_{10} \left( 2 \left\vert \frac{s_{n-1}-s_n}{s_n} \right\vert \right)$$

Abaixo podemos visualizar as aproximações e classificar esse método com relação ao aumento da exatidão. Um script em Scilab foi usado para gerar os valores mostrados, e não Javascript .

n	an	dn	n	an	dn

Podemos observar que o acréscimo de exatidão diminui, e assim a convergência é sublinear.