Solução analítica de equações do terceiro grau: o caso complicado
É desenvolvida aqui a solução de um problema de raízes que apareceu
na disciplina de Cálculo A, no contexto do estabelecimento dos intervalos
de crescimento e de decrescimento da função
.
O estudo dos sinais da função derivada
naturalmente conduz ao problema de raízes
.
Problemas de raízes do terceiro grau possuem soluções analíticas conhecidas desde o século 16. Uma referência completa pode ser encontrada nesse artigo da Wikipedia.
A solução analítica emprega algumas técnicas que ostentam um tipo de beleza (angelical) que nos dias de hoje pouco se valoriza.
A primeira das técnicas é uma mudança de variável que visa
eliminar o termo de grau dois da equação. A substituição ,
onde
é o coeficiente de tal termo, define uma nova variável
,
em nosso exemplo via
,
para a qual o problema se re-escreve:
A segunda técnica é uma parametrização que usa (pega carona em) uma identidade matemática muito conhecida mas pouco lembrada: a diferença de cubos. Preste atenção no conhecido resultado
Agora então a terceira técnica: números complexos e trigonometria
mesclados através da chamada
fórmula de Euler
.
Resolvendo a equação do segundo grau em :