Mat01199 - Cálculo A - Prof. João Batista Carvalho

Exercício de Fixação - Integração definida: vazão, parte II
Acumulação de uma quantidade no tempo: três torneiras que têm vazão máxima de 30 ℓ/min despejam água em reservatórios vazios e suficientemente grandes para conter o volume despejado durante 60 min.
As figuras abaixo mostram como as respectivas vazões v1(t), v2(t), v3(t) variam para 0 ≤ t ≤ 60.

Qual delas você acha que derrama MAIS volume de água em seu reservatório ?

Solução analítica:
Primeiramente, apresentaremos as respectivas expressões analíticas para a vazão nas torneiras.

$\displaystyle v_1(t) = t \left( 2 - \frac{t}{30} \right) , 0 \leq t \leq 60$

$\displaystyle v_2(t) = \left\{ \begin{array}{ll} t &, 0 \leq t \leq 30 \\ 60-t &, 30 \le t \leq 60 \end{array} \right. $

$\displaystyle v_3(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{3t^2}{40} &, 0 \leq t \... ...20 < t \leq 40 \\ \frac{3(60-t)^2}{40} &, 40 < t \leq 60 \end{array} \right. $

Então calculamos as integrais definidas dessas funções no intervalo $[0, 60]$:

$\displaystyle T_1 = \int_0^{60} t \left( 2 - \frac{t}{30} \right) dt = \left[ t... ...]_0^{60} = 60(60)-60(60)\frac{2}{3} = \frac{(60)(60)}{3} = 20(60) = 1200 \ell $

$\displaystyle T_2 = 2 \int_0^{30} t dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{30} = 2 \frac{(30)^2}{2} = 900 \ell$

$\displaystyle T_3 = 2 \int_0^{20} \frac{3t^2}{40} dt + \int_{20}^{40} 30 dt = \... ...0} + (40-20)(30) = \frac{1}{20} (20)^3 + 20(30) = 20(20) + 20(30) = 1000 \ell$

Assim, concluímos que é a torneira 1 a que derrama mais água.
JBC, Nov 2015