Mat01204 - Cálculo B - UFRGS

Prof. João Batista Carvalho

1. Limites por Confronto. Aplicação 1.

A partir de um triângulo retângulo que tem um ângulo $\theta$ com lado adjascente unitário, como o abaixo,

obtemos a relação $$\mbox{sen} \, (\theta) < \theta < \tan(\theta)$$ para $0 < \theta < \pi/2$. Então podemos dividir por $\mbox{sen} \, (\theta) \neq 0$ e obter

$$1 < \frac{\theta}{\mbox{sen} \, (\theta)} < \frac{1}{\cos(\theta)} \Leftrightarrow \cos(\theta) < \frac{\mbox{sen} \, (\theta)}{\theta} < 1$$

e finalmente tomamos o limite ao $\theta \rightarrow 0^{+}$ para concluir, pelo Teorema do Confronto, que

$$\lim_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\mbox{sen} \, (\theta)}{\theta} = 1$$

e como a função $f(\theta) = \mbox{sen} \, (\theta)/\theta$ é PAR, temos

$$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\mbox{sen} \, (\theta)}{\theta} = 1$$.

A animação abaixo mostra um ponto móvel $(u,f(u))$ percorrendo um caminho (verde) no gráfico, prensado entre os gráficos de $g(x)=\cos(x)$ (vermelho) e $h(x) \equiv 1$ (branco), para pequenos valores de $\theta$. Ao $u$ aproximar-se de zero, os valores de $g(u)$ aproximam-se de zero, e o afunilamento gráfico garante que $f(u)$ deve tender a $1$.