É verdade que $$0.9999\bar{9} = 1 \mbox{ ? }$$

Processos de limite bastante interessantes envolvem a construção dos próprios números reais de nossa aritmética. Apesar de podermos levantar objeção sobre a construção do número $1$, pois é um número que está presente desde o princípio (como inverso multiplicativo), considere a seguinte construção:

Seja $S$ o número que existe no LIMITE do seguinte processo:

$$\begin{array}{l} 0.9 \\ 0.99 \\ 0.999 \\ 0.9999 \\ 0.99999 \\ 0.999999 \\ \dots \\ 0.99999\bar{9} = S \end{array}$$

Interessante, e útil, é observar que

$$10 S = 9.99999\bar{9} = 9 + S$$

e então concluímos que $$9 S = 9 \Rightarrow S = 1$$ !!

Assim, vemos que um número real pode ter representações decimais distintas.

Considere agora o seguinte processo analítico:

$$\frac{1}{3} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1/4}{1-1/4}$$

À esquerda, vemos o conhecido número $$1/3$$. À direita, vemos a conhecida expressão para soma de uma sequência de números que estão em progressão geométrica decrescente, a partir de $a_0 = 1/4$, e com razão $q = 1/4$. Dessa forma, escrevemos

$$\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \dots + = 2^{-2} + 2^{-4} + 2^{-6} + 2^{-8} + \dots$$

Finalmente, obtemos a representação binária (isto é, em base 2) do número $1/3$:

$$\frac{1}{3} = (0.01010101\overline{01})_2$$

em usual notação.