Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A - UFRGS

Prof. João Batista Carvalho

Reflexão: esperando pelo infinito.

Nossa investigação parte de fenômeno bastante conhecido: queda livre. Uma bola de massa $m$ cai de uma altura $y_0$ e choca-se com o chão após um certo tempo $t_1$. Hipotetizamos que o choque absorve uma fração $1-\alpha$ da energia da bola, com $0 < \alpha < 1$, ou seja, o movimento continua, com uma fração $\alpha$ de sua energia, mas no sentido contrário, pois a bola agora sobe, a partir de velocidade inicial $\overline{v_1}$ chegando ao seu ponto mais alto após $t_2$ segundos (do choque com o chão), e o fenômeno todo se repete, indefinidamente, até que a bola esteja parada no chão.

A equação do movimento vertical é conhecida: sendo $y$ a altura da bola, $v$ sua velocidade, e $g$ a aceleração da gravidade,

$$y = -\frac{gt^2}{2} + v_0 t + y_0 , \ v = -g t + v_0$$

para uma velocidade inicial $v_0$ e uma posição inicial $y_0$.

Descida, em queda-livre, a partir de posição $y_0$, até termos $y=0$:

$$0 = - \frac{g t_1^2}{2} + (0)t_1 + y_0 \Rightarrow t_1 = \sqrt{ \frac{2y_0}{g} }$$

$v_1 = - g t_1$

Choque com o chão: $$\alpha \frac{m v_1^2}{2} = \frac{m \overline{v_1}^2}{2} \Rightarrow \overline{v_1} = - \sqrt{\alpha} v_1$$

Subida: mesmas equações de queda-livre, com posição inicial nula e velocidade inicial $\overline{v_1}$, até termos $v=0$ (no alto):

$$0 = -g t_2 + \overline{v_1} \Rightarrow t_2 = \frac{\overline{v_1}}{g} = -\frac{\sqrt{\alpha}}{g}(-g t_1) = \sqrt{\alpha} t_1$$

e concluímos então que o tempo de subida é um fator $\sqrt{\alpha}$ do tempo de descida. A posição final (altura) da subida é dada por

$$y_2 = -\frac{g t_2^2}{2} + \overline{v_1} t_2 = -\frac{g}{2} (\al... ...sqrt{\alpha} t_1 ( \sqrt{\alpha} g t_1) = \alpha \frac{g t_1^2}{2} = \alpha y_0$$

e também concluímos que a altura da subida é uma fração $\alpha$ da altura da descida.

Conforme o movimento repete-se, indefinidamente, o tempo passa. Seja $T$ o tempo total de movimento da bola. Podemos definir tempos $t_3$, $t_4$, $t_5$, e assim por diante, para cada um dos demais estágios de subida seguida de descida, que teoricamente demoram o mesmo tempo.

$$T = t_1 + t_2 + t_2 + t_3 + t_3 + t_4 + t_4 + \dots$$

onde os $$\dots$$ indicam que aguardaremos por um número infinito de choques com o chão.

FAZ ALGUM SENTIDO MATEMÁTICO ?

É POSSÍVEL HAVER UM NÚMERO INFINITO DE CHOQUES EM UM TEMPO $T$ FINITO ?

O Cálculo Infinitesimal traz algumas noções, como a de somabilidade de um número infinito de parcelas, que desafiam nossa intuição. Você estudará isso, normalmente, na segunda disciplina da seriação de Cálculo.

Matematicamente, não há problema algum. Lembramos que cada novo tempo $t_i$ é uma fração $$\alpha^{1/2}$$ do tempo imediatamente anterior, $t_{i-1}$. Temos então

$$T = 2( t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + \dots) - t_1 = 2 t_1 ( 1 + \alpha^{1/2} + \alpha + \alpha^{3/2} + \alpha^2 + \dots) - t_1$$

e reconhecemos, entre parênteses, a expressão de soma de uma progressão geométrica decrescente com infinitos termos. Assim

$$T = 2 t_1 \frac{1}{1 - \alpha^{1/2}} - t_1 = t_1 \frac{ 2 - (1 - \alpha^{1/2})}{1 - \alpha^{1/2}} = t_1 \frac{1+\alpha^{1/2}}{1 - \alpha^{1/2}}$$

e vemos que $T$ é um FATOR do primeiro tempo $t_1$. Por exemplo, se $\alpha = 0.81$, significando que 19% da energia é dissipada em cada choque, temos

$$T = t_1 \cdot \frac{1 + 0.9}{1-0.9} = 19 t_1$$

onde lembramos que $$t_1 = \sqrt{ \frac{2 y_0}{g} }$$.

Vamos praticar ? Acesse aqui uma simulação em JavaScript.

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FAZ ALGUM SENTIDO FÍSICO ?

Na realidade, na situação sendo investigada, não-linearidades na forma pela qual a energia é dissipada após os choques farão com que apenas um número finito de choques ocorra. Imagine que, após algum salto muito pequeno, a pequena energia que resta é integralmente dissipada para o ambiente, e o movimento cessa. Lembre que o som que você ouve quando uma bola quica corresponde a parte da energia sendo dissipada.