Ajuste simultâneo de frequências em sistemas de segunda ordem

Para uma descrição mais introdutória do problema, consulte aqui.

Para diretamente ir a simulação, rode programa aqui

Dadas matrizes

$$\Lambda_1 = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \dots & \\ & & & \lambda_r \end{array} \right] ,$$

$$\Sigma_1 = \left[ \begin{array}{cccc} \mu_1 & & & \\ & \mu_2 & & \\ & & \dots & \\ & & & \mu_r \end{array} \right] ,$$

$$X_1 = \left[ \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \dots & x_r \end{array} \right]$$

onde (equação de compatibilidade)

$$M X_1 \Lambda_1^2 + D X_1 \Lambda + K X_1 = 0 ,$$

calcularemos matrizes $W$ e $Z$, juntamente com matrizes diagonais $E_m$, $E_d$, e $E_k$, tais que as matrizes do modelo simétrico $(\tilde{M},\tilde{D},\tilde{K})$, dadas por

$$\begin{array}{l} \tilde{M} = M - W E_m W^T \\ \tilde{D} = D + Z E_d W^T + W E_d Z^T \\ \tilde{K} = K - Z E_k Z^T \end{array}$$

satisfazem a equação de atualização

$$\tilde{M}X_1 \Sigma_1^2 + \tilde{D} X_1 \Sigma_1 + \tilde{K} X_1 = 0$$

e a equação de invariância do espectro não -medido

$$\tilde{M}X_2 \Sigma_2^2 + \tilde{D} X_2 \Sigma_2 + \tilde{K} X_2 = 0$$

onde $(\Sigma_2, X_2)$ representa qualquer conjunto (desconhecido) de pares do tipo frequência - modo de vibração não incluídos na atualização .

Aqui disponibilizamos programa para o cálculo do conjunto de parâmetros de ajuste $E_m, E_d , E_k, W, Z$. Uma vez estabelecidos os dados de entrada correspondendo as matrizes $M, D, K$ , $\Lambda_1$ e $X_1$, a quantidade

$$\Vert M X_1 \Lambda_1^2 + D X_1 \Lambda_1 + K X_1 \Vert _F$$

é primeiramente calculada, para validação da equação de compatibilidade. rodar programa