Ajuste de Modelo em Sistemas Positivo Semi-definidos usando Dados Modais Incompletos

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Suponha que matrizes simétricas $M \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$, $K \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$, são tais que o modelo não -amortecido $(M,D,K)$, onde $D = 0$, tenha espectro que possa ser decomposto em $(\Lambda_1,X_1)$ em $(\Lambda_2,X_2)$ (assumindo representação compacta) tais que

• o primeiro satisfaz $M \Lambda_1^2 X_1 + K X_1 = 0$, onde $\Lambda_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ é uma matriz diagonal com elementos não -positivos (matriz de autovalores), $X_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$ é a correspondente matriz de autovetores, e corresponde a parte do espectro que queremos ajustar, para a qual o teste de vibrações fornece matrizes de dados $\Sigma_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ e $Y_{11} \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ (somente os primeiros $m$ elementos são medidos) ;
• o último satisfaz $M \Lambda_2^2 X_2 + K X_2 = 0$, onde $\Lambda_2 \in {\mathbb{R}}^{(n-m) \times (n-m)}$ , $X_2 \in {\mathbb{R}}^{n \times (n-m)}$, a matriz de autovetores, representa uma parte desconhecida do espectro, a qual queremos que permaneça inalterada (invariante).

Nosso objetivo é calcular uma matriz simétrica $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ tal que a matriz simétrica

$$\tilde{K} = K - M X_1 \Phi X_1^T M$$

é tal que o novo modelo simétrico não -amortecido $(M,D,\tilde{K})$, onde $D = 0$, incorpora a informação oriunda do teste de vibração , sem mudar as frequências e modos de vibrações contidos na sub-estrutura de espectro $(\Lambda_2,X_2)$, isto é, não permitimos que spill-over aconteça.

Aqui, disponibilizamos um programa para calcular esta matriz $\Phi$, seguindo um algoritmo proposto em J. Carvalho, State Estimation and Finite-Element Model Updating in Vibrating Systems, PhD. Dissert, NIU, 2002.

Muito embora o próprio algoritmo prescinda de informação direta sobre $\Lambda_1^2$ para calcular $\Phi$, essa matriz de autovalores deve ainda ser fornecida pelo usuário, para que a quantidade

$$\Vert M X_1 \Lambda_1^2 + K X_1 \Vert _F$$,

que corresponde a uma condição de compatibilidade, seja testada.

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