Ajuste simultâneo de frequências em sistemas de segunda ordem

No contexto de um sistema representado por

$\begin{array}{l} M \ddot{q}(t) + D \dot{q}(t) + K q(t) = B u(t) \\ y(t) = C_1 q(t) + C_2 \dot{q}(t), \end{array}$

onde

• $M, D$ e $K$ são as chamadas matrizes de massa, amortecimento, e rigidez;
• $B$ é a chamada matriz de entrada;
• $C_1$ e $C_2$ são as chamadas matrizes de realimentação ;
• $q(t)$, $\dot{q}(t)$ e $\ddot{q}(t)$ são chamados, respectivamente, vetores de deslocamento, velocidade e aceleração ,

muito frequentemente algumas frequências naturais e modas de vibração correspondentes (autovalores e autovetores) de um modelo de elementos finitos $(M,D,K)$ não correspondem com as informações obtidas de uma estrutura real de vibração . Então , o engenheiro de vibrações precisa ajustar o modelo teórico para garantir sua validez em usos futuros.

O resultado seguinte, devido a J. Carvalho, B. Datta, W. Lin and C. Wang (2001), nos diz como definir matrizes atualizadas $\tilde{M}, \tilde{D}$ e $\tilde{K}$, tais que uma determinada frequência medida $\mu_1$ é inserida em um novo modelo $(\tilde{M},\tilde{D},\tilde{K})$, no lugar de uma frequência isolada $\lambda_1$.

Teorema: Ajuste de uma autovalor real $\mu_1$

Seja $(\lambda_1 , x_1)$, $\lambda_1 \neq 0$ um par real isolado autovalor-autovetor e seja $(M,D,K)$ um modelo simétrico positivo semidefinido. Supoe que queremos substituir $\lambda_1$ por um número real $\mu_1$ no modelo atualizado. Assumimos que $\mu_1$ é tal que $x_1^T K x_1 - \lambda_1 \mu_1 x_1^T M x_1 \neq 0$.

Então o modelo atualizado $(\tilde{M},\tilde{D},\tilde{K})$ definido por

$\begin{array}{l} \tilde{M} = M - \epsilon_1 \lambda_1 M x_1 x_1^T M \\ \tilde... ... M) \\ \tilde{K} = K - \frac{\epsilon_1}{\lambda_1} K x_1 x_1^T K \end{array}$

onde

$$\epsilon_1 = \frac{ \lambda_1 - \mu_1}{x_1^T K x_1 - \lambda_1 \mu_1 x_1^T M x_1}$$

é claramente simétrico e exibe as seguintes propriedades:

(i)

O número $\mu_1$ é um autovalor de $(\tilde{M},\tilde{D},\tilde{K})$ correspondente ao autovetor $x_1$

(ii)

se $(\lambda_k,x_k),k=2,\dots,2n$ são pares autovalor-autovetor de $(M,D,K)$ e $\lambda_k \neq \lambda_1$, $k=2,\dots,n$, então eles são também pares autovalor-autovetor do modelo atualizado $(\tilde{M},\tilde{D},\tilde{K})$.

$\Box$

Ajuste Simultâneo de frequências

Seja $\{ \lambda_1,\dots,\lambda_r, \lambda_{r+1} , \dots, \lambda_{2n} \}$ um conjunto de frequências naturais de um modelo simétrico positivo semi-definido $(M,D,K)$ de ordem $n$, isto é, com $n$ variáveis de estado, no caso onde as frequências naturais $\{ \lambda_1,\dots,\lambda_r \}$ e seus modos correspondentes $\{x_1,\dots,x_r\}$ são reais.

Dado um conjunto de frequências medidas $\{ \mu_1,\dots,\mu_r \}$ e correspondentes modos de vibração $\{ x_1, x_2, \dots, x_r \}$, queremos construir uma representação ajustada $(\tilde{M},\tilde{D},\tilde{K})$ cujas frequências naturais sejam $\{\mu_1,\dots,\mu_r, \lambda_{r+1},\dots,\lambda_{2n}\}$, com os mesmos modos de vibração $\{ x_1, x_2, \dots, x_r \}$.

Dessa forma, dadas matrizes

$$\Lambda_1 = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \dots & \\ & & & \lambda_r \end{array} \right] ,$$

$$\Sigma_1 = \left[ \begin{array}{cccc} \mu_1 & & & \\ & \mu_2 & & \\ & & \dots & \\ & & & \mu_r \end{array} \right] ,$$

$$X_1 = \left[ \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \dots & x_r \end{array} \right]$$

onde (equação de compatibilidade)

$$M X_1 \Lambda_1^2 + D X_1 \Lambda + K X_1 = 0 ,$$

calcularemos matrizes $W$ e $Z$, juntamente com matrizes diagonais $E_m$, $E_d$, e $E_k$, tais que as matrizes do modelo simétrico $(\tilde{M},\tilde{D},\tilde{K})$, dadas por

$$\begin{array}{l} \tilde{M} = M - W E_m W^T \\ \tilde{D} = D + Z E_d W^T + W E_d Z^T \\ \tilde{K} = K - Z E_k Z^T \end{array}$$

satisfazem a equação de atualização

$$\tilde{M}X_1 \Sigma_1^2 + \tilde{D} X_1 \Sigma_1 + \tilde{K} X_1 = 0$$

e a equação de invariância do espectro não -medido

$$\tilde{M}X_2 \Sigma_2^2 + \tilde{D} X_2 \Sigma_2 + \tilde{K} X_2 = 0$$

onde $(\Sigma_2, X_2)$ representa qualquer conjunto (desconhecido) de pares do tipo frequência - modo de vibração não incluídos na atualização .