Ajuste simultâneo de frequências em sistemas de segunda ordem
No contexto de um sistema representado por
onde
e
são as chamadas matrizes de massa,
amortecimento, e rigidez;
é a chamada matriz de entrada;
e
são as chamadas matrizes de realimentação ;
,
e
são chamados, respectivamente, vetores de deslocamento,
velocidade e aceleração ,
muito frequentemente
algumas frequências naturais e modas de vibração correspondentes
(autovalores e
autovetores) de um modelo de elementos finitos
não correspondem com as informações obtidas de
uma estrutura real de vibração .
Então , o engenheiro de vibrações precisa ajustar o modelo teórico
para garantir sua validez em usos futuros.
O resultado seguinte, devido a
J. Carvalho, B. Datta, W. Lin and C. Wang (2001), nos diz como
definir matrizes atualizadas
e
,
tais que uma determinada frequência medida
é
inserida em um novo modelo
, no
lugar de uma frequência isolada
.
Teorema:
Ajuste de uma autovalor real
Seja
,
um par real isolado autovalor-autovetor e seja
um modelo simétrico positivo semidefinido.
Supoe que queremos substituir
por um número real
no modelo atualizado. Assumimos que
é tal que
.
Então o modelo atualizado
definido por
onde
é claramente simétrico e exibe as seguintes propriedades:
-
(i)
- O número
é um autovalor de
correspondente ao autovetor
-
(ii)
- se
são pares autovalor-autovetor de
e
,
, então eles
são também pares autovalor-autovetor do modelo atualizado
.
Ajuste Simultâneo de frequências
Seja
um conjunto de frequências naturais de um modelo simétrico positivo
semi-definido
de ordem
, isto é, com
variáveis de
estado, no caso onde as frequências naturais
e seus modos correspondentes
são reais.
Dado um conjunto de frequências medidas
e correspondentes modos de
vibração
, queremos construir
uma representação ajustada
cujas
frequências naturais sejam
,
com os mesmos modos de vibração
.
Dessa forma, dadas matrizes
onde (equação de compatibilidade)
calcularemos matrizes
e
, juntamente com
matrizes diagonais
,
, e
, tais que
as matrizes do modelo simétrico
,
dadas por
satisfazem a equação de atualização
e a equação de invariância do espectro não -medido
onde
representa qualquer conjunto (desconhecido) de
pares do tipo frequência - modo de vibração não incluídos na
atualização .
Joao Carvalho
2005-08-16