Ajuste de Modelo em Sistemas Positivo Semi-definidos usando Dados Modais Incompletos

No contexto de um modelo $(M,D,K)$ que representa um sistema que vibra governado por

$$M \ddot{q}(t) + D \dot{q}(t) + K q(t) = 0$$,

onde $M, D$ e $K$ são as matrizes de massa, amortecimento, e rigidez, muito frequentemente algumas frequências naturais e modos de vibrações (autovalores e autovetores) não correspondem àqueles obtidos em um teste de vibração da estrutura sendo modelada. Neste caso, a representação precisa ser ajustada, para que possamos garantir sua validade para uso futuro.

O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002), estabelece, no caso não -amortecido, como definir uma matriz atualizada $\tilde{K}$ tal que parte do espectro permaneça inalterada.

Teorema 1 :

Considere o modelo positivo semi-definido $(M,D,K)$ sem amortecimento, isto é, $D = 0$. Sejam matrizes $\Lambda \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$ e $X \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$, que representam a estrutura modal do modelo, satisfazendo

$$M X \Lambda^2 + K X = 0$$ (1)

e sendo particionada via

$$\Lambda = \left[ \begin{array}{cc} \Lambda_1 & \\ & \Lambda... ... X = \left[ \begin{array}{cc} X_1 & X_2 \end{array} \right].$$ (2)

Suponha que as submatrizes diagonais $\Lambda_1$ e $\Lambda_2$ não tenham nenhuma componente não -nula comum. Então , para cada matriz simétrica $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$, a matriz simétrica atualizada $\tilde{K}$ definida por

$$\tilde{K} = K - M X_1 \Phi X_1^T M$$ (3)

assegura que

$$M X_2 \Lambda_2^2 + \tilde{K} X_2 = 0,$$ (4)

o que significa que o resto do espectro não muda.

$\Box$

Suponha agora que um conjunto incompleto de dados modais é disponível, o que significa que um conjunto de $m$ frequências naturais e $m$ modos incompletos correspondentes (somente possuem as primeiras $m$ componentes) são conhecidos a partir de medição . Assuma que essa informação está contida em matrizes $\Sigma_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ e $Y_{11} \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$; a primeira para as frequências, a última para os modos incompletos. O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002), mostra como calcular $\Phi$ tal que a matriz $\tilde{K}$ satisfaça

$$M Y_1 \Sigma_1^2 + \tilde{K} Y_1 = 0,$$ (5)

o que significa que a informação medida é incorporada ao modelo atualizado, onde

$$Y_1 = \left[ \begin{array}{c} Y_{11} \\ Y_{12} \end{array} \right].$$ (6)

O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002), estabelece como definir a matriz $\Phi$ tal que os dados medidos sejam incorporados ao modelo atualizado.

Teorema 2: Suponha que a matriz $MX_1$ tenha posto máximo e

$$M X_1 = \left[ \begin{array}{cc} U_1 & U_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} Z \\ 0 \end{array} \right].$$

$$M = \left[ \begin{array}{cc} M_1 & M_2 \end{array} \right]$$

$$K = \left[ \begin{array}{cc} K_1 & K_2 \end{array} \right]$$

onde $M_1, K_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$ e $M_2, K_2 \in {\mathbb{R}}^{n \times (n-m)}$.

Entao a matriz $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ que assegura () existe se e somente se a submatriz $Y_{12}$ é tal que

$$U_2^T M_2 Y_{12} \Sigma_1^2 + U_2^T K_2 Y_{12} = -U_2^T( K_1 Y_{11} + M_1 Y_{11} \Sigma_1^2 ).$$ (7)

$\Box$

Teorema 3: Uma vez que $Y_{12}$ é calculado de modo que equacao () seja satisfeita, we formarmos a matriz $Y_1$ usando (), e pós-multiplicarmos $Y_1$ para uma nova $Y_1$ tal que $Y_1^T M Y_1$ seja uma matriz diagonal, e calcularmos $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ a partir de

$$Y_1^T M Y_1 \Sigma_1^2 + Y_1^T K Y_1 = ( Y_1^T M X_1 ) \Phi (Y_1^T M X_1)^T$$ (8)

então a equação () é satisfeita.

$\Box$

Um algoritmo para solução do problema de Ajuste de Modelo a partir de Dados Medidos Incompletos é proposto:

Algoritmo 1: : Ajuste de um modelo simétrico positivo semi-definido usando dados medidos incompletos

Entrada: As matrizes simétricas $M, K \in {\mathbb{R}}^{n \times n}$; o conjunto de $m$ frequências e modos de vibração a serem atualizados; o conjunto de $m$ frequências e modos de vibração medidos a partir do teste de vibração .

Saída: Matriz de rigidez atualizada $\tilde{K}$.

Hipótese: $M = M^T \geq 0$ , $K = K^T \geq 0$, $MX_1$ tem posto máximo.

Passo 1: Forme as matrizes $\Sigma_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ e $Y_{11} \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ a partir dos dados disponíveis. Forme as matrizes correspondentes $\Lambda_1^2 \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ e $X_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$.

Passo 2: Compute the matrices $U_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$, $U_2 \in {\mathbb{R}}^{n \times (n-m)}$, and $Z \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ a partir da fatorização QR:

$$M X_1 = \left[ \begin{array}{cc} U_1 & U_2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} Z \\ 0 \end{array} \right]$$ .

Passo 3: Particione $M = \left[ \begin{array}{cc} M_1 & M_2 \end{array} \right] , K = \left[ \begin{array}{cc} K_1 & K_2 \end{array} \right]$ onde $M_1, K_1 \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$.

Passo 4: Resolva a seguinte equação matricial para obter $Y_{12} \in {\mathbb{R}}^{(n-m)\times m}$:

$$U_2^T M_2 Y_{12} \Sigma_1^2 + U_2^T K_2 Y_{12} = -U_2^T [ K_1 Y_{11} + M_1 Y_{11} \Sigma_1^2 ]$$

e forme a matriz

$$Y_1 = \left[ \begin{array}{c} Y_{11} \\ Y_{12} \end{array} \right]$$.

Passo 5: Calcule a matriz $U \in {\mathbb{R}}^{n \times m}$ dada pela decomposição em valores singulars (SVD) de $Y_1^T M Y_1$. Atualize a matriz $Y_1$ via $$Y_1 \leftarrow Y_1 U$$.

Passo 6: Calcule $\Phi \in {\mathbb{R}}^{m \times m}$ resolvendo o seguinte sistema de equações :

$$(Y_1^T M X_1) \Phi (Y_1^T M X_1)^T = Y_1^T M Y_1 (\Sigma_1)^2 + Y_1^T K Y_1$$ .