No contexto de um modelo que representa um sistema que vibra
governado por
O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002), estabelece, no
caso não -amortecido, como definir uma matriz atualizada
tal que parte do espectro permaneça inalterada.
Teorema 1 :
Considere o modelo positivo semi-definido sem amortecimento,
isto é,
.
Sejam matrizes
e
,
que representam a estrutura modal do modelo, satisfazendo
Suponha agora que um conjunto incompleto de dados modais é disponível,
o que significa que um conjunto de
frequências naturais e
modos incompletos correspondentes
(somente possuem as primeiras
componentes) são conhecidos a partir
de medição .
Assuma que essa informação está contida em matrizes
e
; a primeira para as frequências, a última
para os modos incompletos. O resultado seguinte, devido a J. Carvalho (2002),
mostra como calcular
tal que a matriz
satisfaça
Teorema 2: Suponha que a matriz tenha posto máximo e
Entao a matriz
que assegura (
)
existe se e somente se a submatriz
é tal que
Teorema 3: Uma vez que é calculado de modo que
equacao (
) seja satisfeita, we formarmos a matriz
usando (
), e pós-multiplicarmos
para uma
nova
tal que
seja uma matriz diagonal, e
calcularmos
a partir de
Um algoritmo para solução do problema de Ajuste de Modelo a partir de Dados Medidos Incompletos é proposto:
Algoritmo 1:
: Ajuste de um modelo simétrico positivo semi-definido usando dados medidos incompletos
Entrada: As matrizes simétricas
;
o conjunto de
frequências e modos de vibração a serem atualizados;
o conjunto de
frequências e modos de vibração medidos a partir do teste de vibração .
Saída: Matriz de rigidez atualizada .
Hipótese:
,
,
tem posto máximo.
Passo 1: Forme as matrizes
e
a partir dos dados disponíveis.
Forme as matrizes correspondentes
e
.
Passo 2: Compute the matrices
,
, and
a partir da
fatorização QR:
Passo 3: Particione
onde
.
Passo 4: Resolva a seguinte equação matricial para obter
:
Passo 5:
Calcule a matriz
dada pela decomposição em valores
singulars (SVD) de
.
Atualize a matriz
via
.
Passo 6: Calcule
resolvendo
o seguinte sistema de equações :