O objetivo principal é introduzir conceitos fundamentais de teoria geométrica da medida de tal maneira que, após o término do curso, os alunos estejam aptos a ler e entender artigos que utilizam esta área. Nos últimos anos, estes têm sido muitos, devido à expansão da disciplina e sua grande aplicabilidade.

Mais especificamente, nossa disciplina tratará dos seguintes conceitos de teoria geométrica da medida: após uma parte inicial sobre medidas de Hausdorff e lemas de recobrimento, introduziremos fórmulas importantes como as de área e co-área. Falaremos também sobre o espaço das funções de variação limitada ("BV functions", em dimensão maior do que 1!) e estudar suas propriedades principais e estrutura. Provaremos o Teorema de Estrutura de De Giorgi (que afirma que a fronteira de conjuntos de perímetro finito pode ser coberta por um número enumerável de hiperfícies de classe C¹).

Finalmente, estudaremos superfícies mínimas (i.e. superfícies que minimizam o perímetro com condição de fronteira fixada) e proveremos que são suaves (smooth) a menos de um conjunto de medida zero (se o tempo permitir, provaremos também que o conjunto singular de uma superfície mínima tem codimensão 7).

Medidas de Hausdorff; densidades; medidas de Radon. Funções Lipschitz; Funções BV. Fórmula da área; fórmula da co-área. Conjuntos contavelmente n-retificáveis, propriedades de tangente; gradientes, Jacobianos; o Teorema de estrutura de de Giorgi; conjuntos de perímetro localmente finito. Lema do decaimento de Tilt-Excesso; Teorema principal de regularidade.