Nem tudo que parece uma elipse, é uma elipse.

Elisa Friedrich Martins *
Nicolau Matiel Lunardi Diehl  *
Maria Alice Gravina *
Curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS

1. Você pode construir uma elipse usando apenas lápis, papel e barbante.

1) Fixe o barbante em dois pontos, que serão os focos. Você deve deixar uma folga no barbante.

2) É essa folga que lhe permite traçar a elipse. Encoste o lápis no barbante como se ele fosse o ponto A1 da animação, e faça-o deslizar pelo barbante, mantendo o barbante esticado. Pronto.

Realizando esses passos você desenhou uma  elipse, onde  a distância entre os  focos  foi  escolhida ao  fixá-lo  no papel.  E a  distância  do  foco  ao vértice é  o  pedaço  do  barbante  que  fica duplo ao esticá-lo na direção de um dos focos.

 

2. Definição de elipse: Sejam F1 e F2 dois pontos, denominados focos, e K um número constante tal que K é maior do que a distância entre F1 e F2. Chamamos de elipse o conjunto de pontos P tais que a distância de P a F1 mais a distância de P a F2 é igual a K.

Observe que na construção feita acima, o comprimento do barbante corresponde ao número K. De outra forma: d(PF1)+d(PF2)=comprimento do barbante=K

3. Construa facilmente uma elipse utilizando-se do software Régua e Compasso.

1) Clicando no botão , você pode mover o quadrado azul para alterar a distância entre os focos e ainda mover o quadrado vermelho para alterar o tamanho da constante K (tamanho do barbante).

2) Para começar a animação e desenhar a elipse escolhida dê um click neste botão , depois clique no ponto A1, em seguida no segmento K e por último clique no ponto A2.

ATENÇÃO: a animação só vai funcionar  se  o ponto A2  estiver entre os quadradinhos verdes no segmento K. Para posicioná-lo corretamente clique no 1º botão.

 

4. A equação da elipse

Iremos deduzir a equação da elipse utilizando-se do Teorema de Pitágoras.

Vamos indicar por 2a a constante aludida na definição de elipse. Tomemos o sistema de cordenadas X, Y como na figura ao lado.  Neste caso F1 = (-c,0), F2 = (c,0). Sendo P = (x,y) um ponto da elipse, devemos ter d(P,F1) + d(P,F2) = 2a, ou seja,

   =>    =>  =>

 =>      =>     =>

  =>        

Lembrando que a² = b² + c² resulta b²x² + a²y² = a²b², e dividindo a equação por a²b², temos   

 

5. Instrumento que desenha uma curva semelhante a uma elipse

Para manipular o instrumento, prossiga da seguinte forma:


1°: Clique no botão e arraste os botões do quadro deixando os segmentos do tamanho que deseja.


2°: Clique no botão , em seguida clique sobre o ponto Q, depois sobre a circunferência e finalmente sobre o ponto verde.
O instrumento, chamado "Biellismo del Delaunay", foi tirado do site http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00the.htm e construído com o programa Régua e Compasso.

 

6. Segue a demonstração de que o instrumento desenha uma curva.

 

Seja b = =   e a = = = = . Sejam P, Q, C , pontos de coordenadas (x, y), (x', y') e (x", y"), respectivamente, sendo P' e C' , os pontos P e C projetados no eixo das abcissas.

A semelhança dos triângulos RPP' e RCC', nos dá a seguinte relação: = .Note que y' = y". Logo ==.  Daí, temos que = =   => =   =>  y' = y - y  =>  (1) y' - y = - y.  Pelo Teorema de Pitágoras, aplicando ao triângulo PQE, vale + = . Usando (1), temos que = -   =>  = -   => x'-x = =

Comparando as equação da elipse com a resultante do "instrumento que desenha curva " podemos perceber que embora se pareça geometricamente, ela não é uma elipse.

Elisa Friedrich Martins é aluna da Licenciatura em Matemática-UFRGS.E-mail: titamat@yahoo.com.br
Nicolau Matiel Lunardi Diehl é aluno da Licenciatura em Matemática-UFRGS.E-mail: nicolaudiehl@yahoo.com.br
Maria Alice Gravina é professora do curso de Licenciatura em Matemática da UFRGS, mestre em Matemática pelo IMPA-CNPq e aluna do programa de doutorado em Informática na Educação-UFRGS