Nesta atividade vamos construir, inicialmente, retângulos de mesmo perímetro e observar o que acontece com a área ao mudar-se a forma do retângulo.

Depois vamos construir retângulos de mesma área e, da mesma forma, observar o que acontece com o perímetro.

 Vamos utilizar o software Cabri-Geometry que nos permite modificar as dimensões do retângulo, a partir de deslocamento de vértices.
 

Como construir vários retângulos de mesmo perímetro?

Para construir estes retângulos, fixamos um certo valor para o perímetro, ou seja, para a soma dos lados:

Fixar o perímetro do retângulo significa manter fixa a soma dos lados a e b. Para isto, vamos construir um segmento AB e um ponto C móvel sobre este segmento:

Se tomamos AC e CB como lados do retângulo, teremos a soma de dois de seus lados fixa e igual à AB e o perímetro fixo igual à 2*AB. Ao movimentar o ponto C sobre AB obtemos diferentes medidas para os lados do retângulo, conservando o perímetro fixo.

Vamos então agora construir os retâgulos cujos lados são AC e AB:

• A partir dos segmentos AC e CB construídos acima, construa dois círculos concêntricos, de raios AC e CB (utilize a ferramenta Compasso);
• Construa o retângulo sobre dois raios perpendiculares;
• Calcule o perímetro deste retângulo;
• Movimente o ponto C que está sobre o segmento AB construído inicialmente e observe o que acontece.

Observe a variação da área do retângulo:  para C próximo de A a área é quase zero  conforme C se afasta de A a área vai aumentando  a área atinge seu maior valor no quadrado  conforme C se aproxima de B a área vai diminuindo  Como é "lei"desta função ?

Como construir diversos retângulos de mesma área?

Para fixar um valor de área do retângulo, precisamos fixar o produto de seus lados, pois, como sabemos,

Mas como construir geometricamente um produto constante?

Para isto vamos usar o seguinte teorema:
 

Se duas cordas AB e CD de um círculo   se interceptam em um ponto P, o produto   PA . PB é igual ao produto PC . PD

A partir deste teorema podemos construir retângulos de mesma área. Basta seguir a construção abaixo:

• Construa uma circunferência e um ponto P fixo em seu interior;
• Construa um ponto A sobre a circunferência;
• Construa uma corda AB passando pelo ponto P (construa inicialmente a reta AP e depois a corda)

• Usando os segmentos PA e PB construídos acima, construa dois círculos concêntricos de raios PA e PB (utilize a ferramenta Compasso);
• Construa o retângulo sobre dois raios perpendiculares;
• Calcule a área deste retângulo;
• Movimente o ponto A construído sobre o círculo e observe o que acontece com a área do retângulo construído.

O gráfico ao lado nos dá a varição do perímetro do retângulo em  função da distância de A à P. Algumas perguntas que podemos  nos colocar:      quando o perímetro é mínimo ?  quando o perímetro é máximo?  como é a "lei" desta função ?