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Definimos uma transformação geométrica como sendo uma correspondência,
um a um, entre pontos de um mesmo plano ou de planos diferentes.
Queremos aqui estudar uma transformação especial, a
inversão. Esta transformação quando aplicada sobre
pontos de uma circunferência transforma estes em pontos de uma
reta. O instrumento que apresentamos anteriormente, o inversor de Peaucelier
realiza esta transformação: transforma um movimento circular num movimento
retilíneo.
Inversão: Dada
uma circunferência c, de centro O e raio r,
e um ponto Q, definimos o inverso de Q em relação à
circunferência c como sendo o ponto P na semi-reta OQ tal que
as razões OQ / r e r / OP sejam iguais.
Podemos entender esta igualdade de razões da seguinte forma:
dado um ponto Q determinamos a razão entre os segmentos OQ e
r (que na figura abaixo é aproximadamente 1 : 2); o ponto P,
associado a Q na semi-reta OQ, deve ser tal que a razão entre
o raio e o segmento OP seja a mesma razão já determinada
(que estimamos ser aproximadamente 1:2).
r é raio da circunferência |
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Não
é difícil construir pontos Q e P inversos um do outro
com régua e compasso. A figura
abaixo sugere como fazer isto, e para identificar a igualdade entre as
razões, basta olhar para a semelhança dos triângulos
OSQ e OS'B e marcar P na reta OQ tal que OP tenha a mesma medida de OS'.
Atenção,
a inversão não nos diz que para qualquer trajetória
percorrida por Q, a de P será uma reta.
MAS... Podemos ir ainda mais adiante:
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Se
Q percorrer uma circunferência c2 de centro O', passando
por O, P percorrerá uma reta r !
E mais, a reta r é perpendicular a OO' !
Confira esta propriedade !! |
Vamos entender agora por que o inversor de Peaucellier realiza uma inversão.
Para isto precisamos deixar claro os princípios de
construção do instrumento:
Observe a figura.
- Uma terceira haste O´Q, tal que OO'= OQ.
- Hastes
AP, PB, BQ, QA, de modo que o quadrilátero APBQ seja losango.
- Construiu-se
duas hastes OA e OB de mesma medida.
- Q percorre uma circunferência.
Para que o instrumento realmente funcione, isto é, realize uma
inversão de pontos de c, é preciso que OQ . OP = constante.
Chamaremos tal constante de r2.
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