4. Parábola

Dados um ponto F e uma reta D que não contenha F, o conjunto de pontos P = (x , y) que distam igual valor de F e de D é o que denomina-se uma parábola de foco F e diretriz D.

4.1. Equação

Para determinar a equação da parábola iniciamos escolhendo um sistema de coordenadas conveniente de forma tal que: o foco F tem coordenadas (0,f) ; a diretriz tem equação y = - f .
Sendo P = (x , y) um ponto qualquer da parábola e Q = (x.,-f) o ponto que indica a distância de P a reta diretriz , podemos escrever: (figura 1)

d ( P , F ) = d ( P , Q )

x ² + y ² - 2fy + f ² = f ² + 2fy + y ²

- 4fy = - x ² e portanto

y = x ² / (4f ) e fazendo 1/ ( 4f ) = a obtemos

y = a . x ²

figura 1

 

4.2. Análise do coeficiente a

figura 2

figura 3

 

Na figura 2, temos a parábola y = x² e em preto a parábola de equação y=a.x², com a > 1.

Na figura 3, temos a parábola y = x² e em preto a parábola de equação y=a.x², com 0 < a < 1.

Pense: como se posicionam os gráficos de y = a . x² , em relação ao gráfico de y = x² nos casos em que a <-1 e -1<a<0 ?

Com está análise de gráficos, vemos que é o valor do coeficiente a que determina o quão fechada ou aberta é a parábola, e também se é uma parábola voltada para cima ou para baixo. No caso em que a < 0, obtemos para gráfico de y = a . x² a parábola representada na figura 4.

Veja uma animação
figura 4

4.3. Deslocamento vertical

O efeito que uma parábola de equação y = a. x ² sofre ao adicionarmos uma constante b a sua expressão, deixando-a da forma y = a.x ² + b, chama-se deslocamento vertical.
Analisando o gráfico da figura 5, podemos ver que a cada valor y da função y = a x², estamos adicionando b unidades. Não podemos esquecer que b assume qualquer valor, positivo ou negativo. Na figura 16 temos o caso em que b>0 , quando a parábola "sobe b unidades" em relação ao gráfico de y = a. x ²; no caso b <0 a parábola "desce -b unidades".

Veja uma animação????
figura 5

4.4. Desigualdades

A relação de desigualdade y > a x² + b é satisfeita pelos pontos P = (x, y) que estão na região cinza na figura 6.
A relação de desigualdade y < a x² + b é satisfeita pelos pontos P = (x, y) que estão na região cinza na figura 7.

figura 6
figura 7

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