Raiz quadrada de dois
Este texto propõe atividades cujo objetivo é
investigar a representação decimal e a irracionalidade de
.
ATIVIDADES:
1. Calcule o valor de
na calculadora. É possível aceitar esta resposta? Multiplique
este valor por ele mesmo? Esta resposta não é 2, porque
o resultado da calculadora para Raiz quadrada de 2 é uma aproximação.
2. Para tentar alcançar o verdadeiro valor de ,
pode-se tentar calcular por meio de aproximações sucessivas.
O método de cálculo por aproximações sucessivas
é o apresentado a seguir:
Sabemos
que é um número entre 1 e 2.
a) Tente 1,5. Eleve ao quadrado. 1,5 é maior do que ?
b) Tente 1,4. Eleve ao quadrado. 1,4 é menor do que ?
c) Tente 1,45. 1,45 é maior ou menor do que ?
d) Tente 1,41. 1,41 é maior ou menor do que ?
e) Tente 1,42. 1,42 é maior ou menor do que ?
f)Tente 1,415. 1, 415 é maior ou menor do que ?
g) Tente 1, 414. 1, 414 é maior ou menor do que ?
h) Tente 1, 4145. 1, 4145 é maior ou menor do que ?
Podemos continuar com estes cálculos muitas e
muitas vezes. Nunca encontraremos um número exato de casas decimais
para .
Também nunca encontraremos um período.
3. Que tipo de número é Raiz quadrada de 2?
Primeira pergunta:
é inteiro?
Se fosse
um número inteiro, deveria existir um inteiro n tal que
n² = 2.
Utilize a calculadora para listar, na tabela abaixo, os quadrados dos
primeiros vinte números inteiros. Algum destes números quadrados
é igual a 2?
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
* Conclua:
é inteiro? Sim ou Não?
Segunda pergunta?
é racional? Pode ser escrito como uma fração?
Se fosse
uma fração então existiriam dois inteiros, a e b,
tais que a²/b² = 2.
Então teríamos, dois inteiros tais que a² = 2. b².
Ou seja, teríamos dois números quadrados tais que um é
o dobro do outro.
Utilize a calculadora para listar, na tabela acima, o dobro de todos os
números quadrados. Algum destes números é também
um número quadrado? Existem dois quadrados tais que um é
o dobro do outro?
Conclua:
é racional? Sim ou não?
