Construção
da Matemática e Formalização do Número Natural
1. O número
Os números são um dos dois objetos principais de que se
ocupa a Matemática. O outro é o espaço, junto com
as figuras geométricas nele contidas.
Números são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como
modelos, que permitem contar e medir.
Os compêndios tradicionais dizem o seguinte:
"Número é o resultado da comparação entre
uma grandeza e uma unidade. Se a grandeza é discreta, essa comparação
chama-se contagem e o resultado é um número inteiro;
se a grandeza é contínua, a comparação chama-se
uma medição e o resultado é um número real".
Nos padrões atuais de rigor matemático, o trecho acima não
pode e ser considerado como uma definição matemática,
pois faz uso de idéias (como grandeza, unidade, discreta, contínua)
e processos (como comparação) de significado não
estabelecido.
2. O que é uma definição
matemática?
É uma convenção que consiste em usar um
nome, ou uma sentença breve, para designar um objeto
ou uma propriedade, cuja descrição normalmente
exigiria o emprego de uma sentença mais longa.
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Por exemplo:
• Ângulo é a figura formada por duas semi-retas que
têm a mesma origem.
• Primos entre si são dois ou mais números naturais,
diferentes da unidade, cujo único divisor comum é a unidade.
Na apresentação de uma teoria matemática, toda definição
faz uso de termos específicos, os quais foram definidos usando
outros termos, e assim sucessivamente. Este processo iterativo termina
numa palavra, ou num conjunto de palavras (de preferência dotadas
de conotações intuitivas simples) que não são
definidas, isto é, que são tomadas como representativas
de conceitos primitivos. Exemplos: ponto, reta, conjunto.
3. Termos
primitivos e axiomas na Matemática
Para podermos empregar conceitos primitivos adequadamente, é necessário
dispor de um conjunto de princípios ou regras que disciplinem sua
utilização e estabeleçam suas propriedades. Tais
princípios são chamados axiomas ou postulados. Os conceitos
primitivos são objetos que não se definem e os axiomas são
proposições que não se demonstram.
O método axiomático de construção
de uma teoria matemática consiste em:
* formular uma lista dos conceitos primitivos;
*enunciar os axiomas necessários;
*definir as demais noções;
*demonstrar afirmações e resultados seguintes.
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4. Teoremas, lemas e corolários
As proposições a serem demonstradas¹
chamam-se teoremas e suas conseqüências imediatas
são denominadas corolários. Uma proposição
auxiliar, usada na demonstração de um teorema,
é chamada um lema.
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5. O Conjunto dos Números Naturais
Lentamente, à medida que se civilizava, a humanidade apoderou-se
desse modelo abstrato de contagem (um, dois, três, quatro,...) que
são os números naturais.
Na história da matemática, a noção
intuitiva de número, nascida da contagem foi evoluindo até
tornar-se uma construção teórica, desenvolvida com
o método axiomático.
Podemos, hoje, descrever concisa e precisamente o conjunto N dos números
naturais, partindo dos conceitos primitivos de “número”
e de “sucessor” e valendo-nos dos axiomas formulados pelo
matemático italiano Giuseppe Peano²
, no limiar do século 20.
A teoria dos números naturais
N = {1, 2, 3, ...} é um conjunto, cujos elementos são chamados
números na¬turais. A essência da caracterização
de N reside na palavra "sucessor".
Intuitivamente, quando n e n' pertencem a N, dizer que
n' é o sucessor de n significa que n' vem logo depois de n, não
havendo outros números naturais entre eles.
Neste texto, adotamos N = {1, 2, 3 ...}.
Você poderá encontrar em outros textos uma versão
para N = {0, 1, 2, 3, ...}
Axiomas de Peano
a) Todo número natural tem um único sucessor;
b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
c) Existe um único número natural, chamado um
e representado pelo símbolo 1, que não é
sucessor de nenhum outro;
d) Seja X um conjunto de números naturais. Se 1 pertence
a X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de
X ainda pertence a X, então X = N.
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Do último postulado, vem o Princípio
da Indução, um método de demonstrações
de proposições a respeito dos números naturais:
A proposição P(n) é válida para todos os números
naturais n, se:
1) P(1) é válida
2) Se P(n) é válida então P(n+1) é válida.
Esta última condição quer dizer que: supondo
a proposição P(n) válida para um natural
n, se for possível mostrar que ela é válida
para o sucessor n+1,então podemos garantir que ela é
válida para todos os números naturais.A hipótese
de P(n) ser válida denomina-se Hipótese de Indução.
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Todas as definições sobre números
naturais partem destes axiomas e todas proposições podem
ser demonstradas como consequência deles, tornando-se afirmações.
É essencial que você assista a apresentação
que mostra aplicações do Princípio da Indução:
Apresentação:
indução, soma de inteiros e soma de uma progressão
geométrica
Definições
Operação de adição
A operação de adição, nos números naturais,
é definida a partir da idéia de sucessor.
É definido um símbolo + para expressar o sucessor de um
número.
2 é o sucessor de 1, 2 = 1+1;
3 é o sucessor de 2, 3 = 2+1;
4 é o sucessor de 3, 4 = 3+1;
Adição
Operação que faz corresponder aos números m, n
N a soma m+n.
Símbolo: “+“
Elementos: parcelas
Resultado da adição: soma.
A soma m+n é o número natural que se obtém
a partir de m aplicando-se n vezes seguidas a operação
de tomar o sucessor.
m + n = (((m+1) +1) +1) +1......+1) , operado n vezes.
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Propriedades:
A adição + em N, é uma operação:
1) fechada
2) unívoca
Se a = a’ e b = b’ então a + b = a’ + b’.
De outro modo: se a = b então a + c = b + c.
3) comutativa
A ordem das parcelas não altera o resultado a + b = b + a.
4) associativa,
As parcelas, a, b, c podem ser agrupadas de modos diferentes
(a + b) + c = a + ( b + c).
Multiplicação
Operação que faz corresponder aos números
m,nN o produto m.n.
Símbolos: “x“ ou “.”.
Elementos: fatores
Resultado da multiplicação: produto.
m x n = n + n + ...+ n , operado m vezes.
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Propriedades
A multiplicação em N é uma operação:
1) fechada
2) unívoca
Se a = a’ e b = b’ então a . b = a’. b’.
De outro modo: se a = b então a . c = b . c
3) comutativa,
A ordem dos fatores não altera o resultado: a . b = b . a
4) associativa,
Os fatores podem ser agrupados de modos diferentes
(a . b) . c = a (b . c)
5) com a propriedade do elemento neutro, o produto do número 1
por qualquer fator, não altera seu valor 1.a = a. Consequentemente:
m = 1m
m + m = 1m + 1m = 2 m; 3m + 5m = 8m, etc.
A operação de multiplicação possui a propriedade
distributiva com relação à adição:
c (a + b) = ca + cb.
É essencial que você veja o modelo geométrico
das propriedades da multiplicação e adição
na Apresentação:
operações em N.
Operação de subtração
Operação que faz corresponder aos números m,n N
a diferença m - n
Símbolo: “-“
Elementos da subtração: minuendo m e subtraendo n
Resultado da subtração: resto ou diferença.
m - n = p se e só se m = p + n
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A operação de subtração não é
fechada em N, pois existem muitos pares de números m, n tais que
m - n não é um número natural.
Para estabelecer as condições em que m – n é
número natural, define-se uma relação de ordem em
N.
Relação de Ordem Estrita
Dados m, n e N, diz-se que m é menor
do que n., e escreve-se m < n se, e só se,
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A relação m < n tem as seguintes propriedades:
1) Se m < n e n < p então m < p.
2) Dados m, n, vale uma, e somente uma, das alternativas:
m = n, m < n ou n < m
3) Se m < n então, para qualquer p, tem-se m + p< n + p e
mp < np. Poderíamos ter uma definição para ordem
não estrita, a relação <, “menor
ou igual a”.
Definindo um novo conjunto que amplia N
A constação mais crítica a respeito do não
fechamento da subtração em N, diz respeito à subtração
n - n.
A intuição diz que n-n é “nada”.
Mas, considerando em N = {1, 2, 3, ...} , não
existe um número natural c correspondente a n – n tal que
n – n = c , pois, neste caso, teríamos n+c = n o que contraria
a definição de adição: a soma de n+c consiste
em encontrar o sucessor de n , um número c de vezes.
Para contemplar esta falta, é preciso definir um novo número
e incluí-lo em N.
Define-se o número Zero, com símbolo 0.
Para qualquer n natural, n - n = 0
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Conseqüência:
Sabe-se que n - n = 0 se e só se e 0 + n = n.
Deste modo, o número 0 é elemento neutro da adição
e é único.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z +
Reunindo os naturais com o zero, definimos um novo conjunto, denominado,
conjunto dos inteiros (não negativos, pois ainda não definimos
os negativos).
Adotamos a seguinte notação:
Z + = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}
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( A notação Z+ lembra que
ainda não foram definidos os números negativos)
Neste conjunto são válidas todas operações
definidas em N com todas as suas propriedades: associativa e comutativa
da multiplicação e da adição; distributiva;
elemento neutro da multiplicação.
Em Z+, a adição também tem a propriedade do elemento
neutro:
para qualquer inteiro n Z+,
n + 0 = n
Operação de divisão
Operação que faz corresponder aos números m, n Z+,
o quociente m : n.
Símbolo “ : ”
Elementos da divisão m : n : m o dividendo e n o divisor.
Resultado da divisão: quociente.
m : n = p se e só se m = p . n
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A operação de divisão não
é fechada em Z+, pois existem muitos pares de números m,
n tais que m : n não é um número inteiro.
Para verificar em que condições m : n é número
inteiro, define-se a relação de “ser múltiplo”
ou “ser divisor”.
Seguiremos a estudar a divisão, no Módulo
II, quando definiremos “fração”. Para ter uma
idéia de como se desenvolvem as provas de algumas propriedades
dos números, é essencial que você acompanhe a Apresentação
: demonstrações em N e Z+ .
Observação: Você
vai encontrar autores que, em lugar de apontarem a subtração
e a divisão como operações não fechadas, nos
inteiros, afirmam que são operações não definidas,
neste conjunto, pois uma operação só se define com
a propriedade do fechamento. Optamos aqui por seguir a orientação
de Caraça (1998) que desenvolve os conjuntos numéricos enfatizando
a busca do fechamento das operações.
Algoritmos das operações com números
inteiros
Os algoritmos usuais, praticados na escola, para as quatro operações
com números naturais, baseiam-se no sistema numérico decimal.
Todo número natural pode ser decomposto em potências de 10
(=1, 10¹=10, 10²
= 100, 10³ = 1000, etc.) e é composto por dígitos de
0 a 9, posicionados de tal forma que a cada posição corresponde
a uma ordem de grandeza:
9321 = 9x1000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 1.
Todas as operações com naturais podem ser resolvidas com
a decomposição dos números.
Por exemplo, para calcular 14 x 7, uma das maneiras de operar consiste
em decompor o número: 10 x 7 + 4 x 7.
As técnicas operatórias usualmente ensinadas na escola apóiam-se
nas regras do sistema de numeração decimal e na decomposição
dos números.
Não vamos tratar aqui, explicitamente, destes algoritmos, mas você
pode procurar detalhes neste endereço: http://educar.sc.usp.br/matematica/matematica.html
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Notas
Finais
¹Texto Provas
extraído de http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_por_constru%C3%A7%C3%A3o
²Texto
Números
Naturais extraído de
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural#A_hist.C3.B3ria_dos_n.C3.BAmeros_naturais_e_o_estado_do_zero
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GLOSSÁRIO
Axioma
Conceito
primitivo
Corolário
Demonstração
Lema
Operação
Postulado
Princípio
da Indução
Se
e somente se
Teorema
Este texto foi adaptado de:
1. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos
Fundamentais de Matemática. Lisboa: Gradiva, 1998, páginas
35 a 45, trecho do capítulo 2:1 – A construção
do campo racional.
2. LIMA, Elon Lages, CARVALHO, Paulo
César pinto, WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto César. A
Matemática do Ensino Médio. Coleção
do Professor de Matemática. Vol. 1. Sociedade Brasileira de Matemática,
2001, capítulo 2 (Números Naturais), página 25 a
34.
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