O NÚMERO DE OURO

Prof. Dra. Vera Clotilde Garcia, Acad. Fabiana Fattore Serres,
Acad. Juliana Zys Magro e Acad. Taís Aline Bruno de Azevedo.

A divisão áurea de um segmento ou a divisão em média e extrema Razão

Multiplicando os dois lados da equação por

a (x - a)

obteremos:

Resolvendo a equação temos:

Vamos analisar a raiz positiva da equação por conveniência:

Ou seja, a razão entre as medidas dos dois segmentos x e a, é um número irracional denominado Número de Ouro.

Propriedades do Número Áureo

Basta considerar o segmento abaixo, no qual x=1, onde c divide o segmento em média e extrema razão,

Temos:

O Retângulo Áureo

Podemos traduzir esta semelhança pela relação:

A partir desta relação:

Vamos verificar que com a operação de “suprimir quadrados” indefinidamente, sempre encontraremos retângulos semelhantes, mantendo em cada novo retângulo a razão áurea.
Para isto, a partir da equação 1, multiplicando os dois lados da equação por (a . b) temos:

Notamos que, se pegarmos o retângulo menor da figura 1 :

E dele suprimirmos um quadrado, como CIFJ, o retângulo restante será semelhante ao retângulo CDEF. Vemos então que a semelhança se mantém:

ou seja:

A CONSTRUÇÃO DE UM RETÂNGULO ÁUREO

Podemos construir um retângulo áureo partindo de um segmento AE = a e a partir deste, construir o quadrado ABEF, como abaixo:

Marcar o ponto médio do segmento AE

Com a ponta seca do compasso em G e abertura = GF traçar o arco FD, que jaz na reta AE e E é interno ao segmento AD.

Prolongar o segmento BF e traçar CD perpendicular ao segmento AD.

Vemos na figura 6 que : GF = GD = r

E usando o fato de que o triângulo GEF é retângulo em Ê :

Aplicamos o teorema de Pitágoras e obtemos:

Logo construímos um retângulo de lados:

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