O NÚMERO

 

O número representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.

No Oriente antigo tomava-se freqüentemente o número 3 como valor de . Já no papiro de Rhind, datado de cerca de 1650 a.C., encontrado no Egito, encontra-se

A primeira tentativa científica de calcular parece ter sido a de Arquimedes em 240a.C. Esta tentativa foi tão notável que só se criaram métodos novos para o cálculo de em 150d.C. Por isso, analisaremos, aqui, com mais cuidado o método de Arquimedes, conhecido como método clássico de cálculo de .

Para facilitar os cálculos, suponhamos que se tome um círculo de diâmetro unitário. Então o comprimento da circunferência situa-se entre o perímetro de qualquer polígono regular inscrito e a de qualquer polígono regular circunscrito. Uma vez que é uma questão simples calcular os perímetros dos hexágonos regulares inscritos e circunscritos, facilmente se obtêm limites para . Há fórmulas que nos dizem, a partir de um par dado de polígonos regulares – um deles inscrito e o outro circunscrito - como se podem obter os perímetros dos polígonos regulares inscrito e circunscrito com o dobro de número de lados. Com esse raciocínio Arquimedes calculou até a segunda casa decimal.

Vários outros matemáticos encontraram aproximações para , porém, não é o objetivo deste texto citar todas as formas de calculá-lo. O fato mais importante, na tentativa de encontrar qual o valor exato de , foi que ninguém encontrou qual é este valor. Isso se deve ao fato de que o número é infinito.

Hoje, parece óbvio dizer isso, mas, até 1767, ninguém havia conseguido provar tal fato. Nesta época, quem demonstrou que é irracional foi o matemático francês, radicado na Alemanha, Johann Heinrich Lambert.

O símbolo foi usado primeiramente pelos matemáticos ingleses William Oughtred, Isaac Barrow e David Gregory, por volta de 1600, para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a usar esse símbolo para a razão entre a circunferência e o diâmetro foi o escritor inglês William Jones, numa publicação de 1706. Porém, o símbolo só encontrou aceitação geral depois que Euler o adotou em 1737.
Atualmente, já são conhecidas mais de 1 milhão e trezentas mil casas de .


O MÉTODO DE ARQUIMEDES


O método de Arquimedes consiste em encontrar o valor aproximado de , a partir da construção de duas seqüências de números, sn e Sn. A primeira, sn , é construída pelo cálculo do valor dos lados da seqüência de polígonos inscritos no círculo de raio 1, e a segunda seqüência, Sn, refere-se ao valor do lado dos polígonos circunscritos. Os polígonos inscritos se aproximam do círculo, por dentro, e os polígonos circunscritos se aproximam do círculo por fora.

No limite, as seqüências dos perímetros destes polígonos e se aproximam da circunferência, 2. Calculam-se assim boas aproximações para , a menor e a maior.

Para obter estas duas seqüências, Arquimedes iniciou o cálculo por s6, o lado do hexágono inscrito no círculo de raio 1.

É fácil ver que s6 = 1, pois o hexágono determina, no interior do círculo de raio 1, 6 triângulos eqüiláteros, com ângulos de 60º e dois lados coincidentes com raios.

Sabendo que s6 = 1, Arquimedes deduziu o valor de S6, o lado do hexágono circunscrito ao mesmo círculo, usando semelhança de triângulos.

Sabendo s6 e S6, Arquimedes obteve duas seqüências de números: a seqüência de lados dos polígonos inscritos, com lados 6, 12, 24, 48, 96, etc ; e igualmente, a seqüência de lados dos polígonos circunscritos, com lados 6, 12, 24, 48, 96, etc.

Utilizando os valores de s96 e S96 , pelo Método de Arquimedes, calculam-se os perímetros p96 e P96 . Estes valores são muito próximos de 2.
p 96 < 2< P96
Dividindo a ambos por 2, obtêm-se duas aproximações de
3,14016 < < 3,14208
Ou seja, pelo Método de Arquimedes, obtêm-se as duas primeiras casas decimais de .