A REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS REAIS

Na sua origem, número é resultado dos processos de contagem ou de medida. Tais números precisam ter algum tipo de representação, para possibilitar as operações e as comparações. Para isso, cada civilização desenvolveu o seu sistema de numeração, criando diferentes sistemas numéricos.

O sistema numérico decimal é um sistema posicional de representação que parte dos algarismos 1 a 9 e cria outros números partir de adições e multiplicações.

Denominações

São utilizadas expressões diferentes para designar a “representação decimal” de um número: número decimal, número na forma decimal, notação, expansão ou registro decimal.

Consideramos que todas têm o mesmo significado, utilizando-as em lugares diferentes do texto.

Uma nova definição para número real

Na nossa civilização, todo número obtido das medidas, é representado no sistema numérico decimal.

Nosso objetivo é mostrar que: todo número real é representado na forma decimal e toda forma decimal corresponde a um número real.

Que todo número real é representado na forma decimal, é óbvio, pois o sistema numérico decimal é o sistema de representação historicamente definido para representar os números com os quais trabalhamos.

Mas, é importante observar que esta correspondência não é única. Vamos ver que alguns números reais admitem duas diferentes representações decimais.

A dúvida é se qualquer número na forma decimal, que possamos imaginar, corresponde à medida de algum segmento (pois esta é a definição inicialmente dada para número real).

1. Sistema decimal

O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).

Todo inteiro no sistema decimal, é representado por uma seqüência de algarismos de 0 a 9, que servem para contar unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de milhar, etc da direita para a esquerda.

Na passagem da unidade, para a dezena, centena, milhar, em diante, utilizamos as potências de 10: sucessivas multiplicações por 10, a partir da unidade: = 1; 10¹ = 10; 10² = 100; = 1000; corresponde a n zeros após a unidade.

Exemplo:

531 = 5.10² + 3.10¹ + 1. .

Mas como representar os números menores que a unidade?

Entre os números racionais, destacam-se as frações decimais, a/10, b/100, c/1000, etc, cujo denominador é uma potência de 10. Assim, como os inteiros são construídos a partir de potências de 10, as frações decimais são obtidas a partir das potências de 1/10.
Estas frações são utilizadas na contrução de artefatos para medir, fornecendo as subunidades de medidas. Observe que as réguas, trenas e outros artefatos, no sistema métrico decimal, se apresentam, marcadas em metros, decímetros, centímetros e milímetros.

Com a evolução da matemática e a crescente necessidade de manipulação dos números, as frações decimais passaram a ser representadas com formas decimais simplificadas, sem mais apresentar um numerador e um denominador separados com o traço de divisão.
O numerador aparece por extenso e a divisão pela potência é apenas indicada, por uma vírgula.

Exemplos para frações menores do que a unidade:

31/100 = 0,31

217/1000= 0,217

Esta regra não é aleatória, mas uma extensão do princípio de construção dos inteiros para as frações.

Cada dígito após a vírgula indica décimo, centésimo, milésimo, dezena de milhar, etc, utilizamos potências de 1/10: sucessivas multiplicações por 1/10, a partir de 1. 1 . 1/10 = 1/10; 1/10 . 1/10 = 1/100 = 1/10² ; 1/100 . 1/10 = 1/1000 = 1/10³ ; etc

Exemplos:

31/100 = 0,31 = 3. 1/10 + 1.1/10²

217/1000= 0,217 = 0. + 2. 1/10 + 1.1/10² + 7. 1/10³

1/25 = 4/100 = 0,04 = 4. 1/10²

As formas decimais finitas também são denominadas exatas. Optamos pelo termo “finita” para contrapô-lo com a outra possibilidade “infinita” e por ser mais adequada ao que está sendo dito: formas decimais com número finito de casas decimais.

Existem números reais com representação decimal infinita?

Com base na definição de notação decimal, foram elaborados algoritmos para tratar das operações com números expressos desta forma:

Sabemos calcular:

1) 3/10 + 2/100

2) 3/10 - 2/100

3) 3/10 x 2/100

4) 3/10 : 2/100

Ainda não sabemos como se calcula:

1) 0,3 + 0,02

2) 0,3 - 0,02

3) 0,3 x 0,02

4) 0,3 : 0,02

As frações decimais e os inteiros são números racionais cuja representação na forma decimal é finita. Portanto, para definir as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, com estes mesmos números, neste formato, é preciso que elas sejam compatíveis com as operações já conhecidas, nos racionais.

Veja Texto: Operações com Decimais.

Após o estudo deste texto, descobrimos que:

1) a operação de adição com decimais finitos justifica a notação decimal das frações decimais maiores do que a unidade, que tem duas partes: a parte inteira, antes da vírgula, e a parte fracionária, propriamente dita, após a vírgula:

531/100 = 500/100 + 31/100 = 5 + 0,31 = 5,31
2345/1000 = 2000/1000 + 345/1000 = 2 + 345/1000 = 2 + 0,345 = 2,345

A vírgula é utilizada ( no Brasil) como um separador decimal (em alguns outros países, utiliza-se um ponto) que indica o começo da parte menor do que a unidade. Os algarismos após a vírgula são denominados “casas decimais”. Os algarismos anteriores à vírgula formam a “parte inteira” do número.

2) é possível dividir números inteiros e obter como solução um número decimal: 56 : 70 = 0,8

3) existem frações muito simples que se apresentam numa forma decimal infinita: 1/13 = 0,076923076923....

Neste exemplo, observamos que o resultado apresenta infinitos dígitos na parte decimal do número. Além disso, há um período que se inicia quando o resto se repete.

Forma decimal infinita com período

Para alguns autores, um decimal finito é periódico, com período zero:

Exemplo: 4 = 4, 00000

Neste texto, consideramos que o período é não nulo e distinguimos decimais finitos de decimais infinitos e periódicos.

Por outro lado, vamos ver, logo mais, que:

4 = 3,999...

1,25 = 1,24999...

Isto é, qualquer número representado por uma forma decimal finita também pode ser representado por uma forma decimal infinita com período 9. Estes números têm duas representações decimais distintas.

O número de casas decimais do período pode ser qualquer número inteiro positivo.

Exemplos com período de 1 dígito:

1/9 = 0,1111..... = 1. 1/10 + 1. 1/10²+ 1/10³ .....

2/9 = 0,2222.....= 2/10 + 2/100 + 2/1000 + .....

3/9 = 1/3 = 0.3333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + .....

4/9 = 2/3 = 0,4444.....

5/9 = 0,5555...

6/9 = 2/3 = 0,6666...

7/9= 0,7777...

8/9 = 0,8888..

Podemos então responder à questão inicial:

Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica especial: existe um período.

Notação do período:

Podemos observar que:

Existem números reais com representação decimal infinita sem período?

Para responder a esta pergunta é preciso verificar que todas as formas decimais finitas ou infinitas periódicas representam números racionais e, reciprocamente, todos os racionais são representados por formas deste tipo.

O próximo passo é questionar sobre a representação decimal dos números irracionais.

Elas não podem ser formas decimais finitas ou infinitas periódicas.

Como são elas?

Todo número racional é representado por uma forma decimal finita ou infinita e com período.

Já sabemos que toda fração decimal (ou equivalente a alguma fração decimal) corresponde a um decimal finito. Uma fração qualquer, para ser equivalente a uma fração decimal, necessariamente deve ter um denominador que seja divisor de potências de 10.

Para isto, o denominador só pode ter como divisores os algarismos 2 e 5.

Exemplo:

1/25 = 4/4.25 = 4/100 pois 25 é divisor de 100

Mas, muitas frações não têm esta propriedade:

Exemplos:

1/3 não é equivalente a uma fração decimal, pois 3 não é divisor de nenhuma potência de 10.

Analogamente: 1/7; 1/13; 1/36; etc

Neste caso, os valores do resto só podem ser 123 ... (q-1).

Por exemplo, em 1/13, os restos só podem variar entre 1 e 12. Ou seja, certamente, vai haver alguma repetição de algum algarismo. Neste momento, inicia-se o período.

Para um certo número 1/q, que não é equivalente a uma fração decimal, o período tem no máximo (q-1) dígitos.

É importante que você estude o texto Dízimas Periódicas e a Calculadora, que ensina a calcular 1/n, com várias casa decimais e com período longo, quando n é um número grande. Isto é feito usando a calculadora. Por exemplo, com este método, pode-se descobrir que o período de 1/23 tem 21 casas decimais¹.

Vamos agora investigar as três afirmações seguintes:

1) Toda forma decimal finita corresponde a uma fração decimal.

2) Toda forma decimal infinita e periódica cujo período não é 9 corresponde a uma fração que não é decimal (nem equivalente a uma fração decimal).

3) Toda forma decimal infinita com período 9 corresponde a uma fração decimal.


A primeira parte da afirmação é válida devido à própria construção da notação decimal, que partiu das frações decimais e se apresenta como soma finita de potências de 10 ou de 1/10.

0,235 = 235/100

Para a segunda parte, é essencial que você relembre seus conhecimentos relativos a progressões geométricas, no texto: Progressão Geométrica.

Com este estudo, você poderá compreender a afirmação seguinte:

RAZÂO 1/10

Com esta informação, vê-se que a soma da PG de razão 1/10 corresponde a números decimais infinitos periódicos com período de 1 dígito:

Exemplo:

De acordo com o texto, sabemos a soma da PG e podemos escrever este número:

S = b + bq + bq² + bq³... = b/ (1-q)

Sendo b o primeiro termo da PG e q a razão.

Exemplo:

Se o número tiver parte inteira, não há problema:

Exemplo:

Usando esta relação, podemos construir diferentes números decimais periódicos e calcular a fração correspondente.

Exemplos:

0,1111..... = 1. 1/10 + 1. 1/10²+ ..... = (1/10)/(1-1/10) = 1/9

0,2222.....= 2/9

0.3333... = 3/9 = 1/3

0,4444..... = 4/9 = 2/3

0,5555... = 5/9

0,6666...= 6/9 = 2/3

0,7777...= 7/9

0,8888...= 8/9

0,9999...= 9/9 = 1

Este último resultado conduz a outras igualdades:

0, 23999... = 0,23 + 0,00999... = 0,23 + 0,01 = 0,24

1,999... = 1 + 0,999... = 1 + 1 = 2

O que nos leva a concluir que um mesmo número racional representado por uma forma decimal finita, também pode ser representado por uma forma decimal infinita periódica, com período 9.

RAZÃO 1/100, 1/1000, etc

Se a PG tiver razão igual 1/100 = 1/10² , encontramos números decimais com período de 2 dígitos; se a razão for 1/1000 = 1/10³ o período será de 3 dígitos, e assim por diante.

Exemplo:

Você pode entender melhor o processo acompanhando o aplicativo: Transformação de decimal periódico em fração

Concluímos que:

1) Toda notação decimal finita ou infinita periódica representa algum número racional.

2) Todo número racional é representado por alguma forma deste tipo.

3) Em particular, um número racional representado na forma decimal finita também pode ser representado na forma periódica, com período 9.

4) De qualquer modo, todas as formas de representação decimais finitas ou infinitas periódicas referem-se a números racionais.

Finalmente, podemos questionar sobre a representação decimal dos números irracionais.

Elas não podem ser formas decimais finitas ou infinitas periódicas.
Como são elas?

Das conclusões acima, vemos que, se um número é irracional, só poderá ser representado por um decimal infinito não periódico.

Conhecemos muitos números resultantes de medidas de segmentos incomensuráveis e, aplicando métodos aritméticos e geométricos de cálculo, verificamos que eles têm representação decimal infinita e não periódica. Pode-se observar um exemplo nos textos: Cálculo de raiz quadrada de 2 e cálculo de , como foi desenvolvido por Arquimedes.

Como se apresentam estas formas?

De um modo geral, toda notação decimal construída no sistema numérico decimal é representado por somas ( finitas ou infinitas) de termos que envolvem potências de 10 ou de 1/10: + PARTE INTEIRA PARTE FRACIONÁRIA cc Todo número decimal é representado pela seqüência dos coeficientes:

Com esta generalização, vê-se que existem registros decimais infinitos não periódicos, por exemplo:

Este número também pode ser escrito como soma de potências de 1/10:

Observe que:

1) Não há um bloco de algarismos que se repita, na parte fracionária do número, isto é, não existe período.

2) A soma não corresponde à soma de uma PG pois não existe uma razão constante entre os termos. A relação entre um termo e outro varia: 1/100; 1/1000; 1/10.000, e assim por diante.


Resta verificar que toda forma decimal infinita não periódica corresponde a um número irracional. Ou seja, corresponde à medida de algum segmento incomensurável com a unidade.

Para isto, vamos nos reportar à reta real.

A cada ponto P da reta, corresponde um segmento OP, cuja medida é um número real, representado na reta pelo próprio ponto P.

Consideremos um número decimal infinito e não periódico. Existe algum ponto da reta que se identifica com este número?

A resposta é sim, como mostra Cerri (2006):

Invente uma representação decimal qualquer. Ela representa um número real? Vamos ver um exemplo consideremos a forma decimal infinita e não periódica:

0,1212212221....

Existe um ponto Q da reta cujo número associado tem esta representação?

Vamos tentar responder.

Tome a seguinte seqüência de números:

Também não ultrapassa 0,122. Ou ainda, não ultrapassa 0,1213 etc.

A diferença entre os termos vai ficando cada vez menor.

Nossa intuição nos diz que esta é uma seqüência de números racionais

que converge para um ponto da reta real

que corresponde a um número

que só pode ser

o número representado por 0,121221222122221... ,

com infinitas casas decimais!

O argumento que usamos pode ser repetido para toda e qualquer forma decimal infinita que você inventar, mesmo que ela não tenha uma regularidade (como é o caso do exemplo acima).

Exemplos :

É possível, então, relacionar os racionais e irracionais com suas formas decimais:

1. 42 = 42,0 é racional

2. 0,5 é racional

3. 0, 343434... é racional

4. 0,101001000100001..... é irracional

5. = 3.1415927... é irracional

6. = 1,414213562..... é irracional

OPERAÇÕES COM NÚMEROS NA FORMA DECIMAL

O conjunto dos números racionais foi aumentado, e temos agora o conjunto dos números reais. O conjunto dos números reais, denotado por R, é a união dos números racionais com os irracionais. Todo número real é representado na forma decimal. Alguns são redutíveis a frações outros não, os irracionais.

Podemos ainda operar com estes “novos” números como fazemos com os racionais?
Como definir agora adição e multiplicação?

Penteado ( 2004) responde que não é fácil operar com as representações decimais.
Veja esta soma:



Não há como conhecer todas as casas decimais de alguns números.

Contudo os matemáticos de fato provaram que no conjunto dos números reais R, que corresponde ao conjunto de todos os decimais estão definidas operações de adição e multiplicação que estendem as de Q.

Também temos uma ordem nas mesmas condições.

Na prática, o resultado de operações com números irracionais é sempre representada por um número racional muito próximo. Os resultados são aproximados.

Resumindo:

As formas decimais podem ser: finitas ou infinitas e, estas, podem ter ou não um período.

Um número racional é um número representado por uma fração a/b de inteiros (b não nulo) e corresponde às medidas de segmentos comensuráveis.

Um número irracional é um número que não pode ser representado por uma fração a/b de inteiros e corresponde às medidas de segmentos incomensuráveis.

Os números racionais são representados na forma decimal finita ou infinita periódica e os irracionais na forma decimal infinita não periódica. Além disto, qualquer forma decimal representa um destes números.

Nesta lógica, pode-se aceitar uma outra definição para número real:

Como você obtém exemplos de números reais? Medindo segmentos ou “inventando” representações decimais.

DIAGRAMA

O conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos racionais e dos irracionais.

GLOSSÁRIO

Sistema decimal

Representação decimal

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Notas Finais

¹Se você quiser saber mais, veja em
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat3_1_1.pdf (pag. 31)

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BIBLIOGRAFIA

CERRI, Cristina. Desvendando os Números Reais (pdf). Mini-curso, Bienal de Matemática, 2006. Disponível em: www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf

PENTEADO, Cristina. Concepções do professor do ensino médio relativas à densidade do conjunto dos números reais e suas relações frente a procedimentos para abordagens desta propriedade. Dissertação de Mestrado em educação Matemática. PUC-SP, 2004. Disponível em: http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4687

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