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GEOMETRIA E ÁLGEBRA

ATIVIDADE I: EXPLORANDO UM PROBLEMA CONHECIDO
Jane Cristina Souza ^*
Márcia Frank de Rodrigues ^*
Renata Lindermann^*

Tendo em vista o avanço tecnológico utilizamos o computador como ferramenta nesta atividade, desenvolvendo um projeto no aplicativo Cabri Geometry II. A Matemática a ser desenvolvida neste envolve relações entre variáveis, tabelas, gráficos e alguns conceitos de funções.
O papel do computador nesta atividade é o de um instrumento que visa facilitar a exploração de alguns problemas matemáticos de uma maneira mais simples, ao mesmo tempo que é um ativador da curiosidade dos alunos estimulando-os no estudo dos conteúdos matemáticos.
É importante lembrar que o computador não substitui o educador nesta atividade, na realidade ele é um recurso didático sendo do educador a responsabilidade do bom desenvolvimento do trabalho. Ele é essencial para orientar os alunos, encaminhá-los e esclarecer suas dúvidas.
Diante desta proposta esperamos que o aluno interagindo com o computador se sinta estimulado e seguro para aplicar os seus conhecimentos de maneira a obter os resultados esperados.
Para obter o arquivo das atividades feitos no Cabri clique aqui.

Considere uma situação como a da figura abaixo: uma escada (de tamanho AB) encostada em um muro, onde o pé da escada encontra-se no ponto móvel B. AO = Distância do topo da escada ao chão e BO = Distância do pé da escada ao muro.

Observando a figura, quais são as constantes e quais são as variáveis ao movimentarmos o ponto B? Dê os valores das constantes.
Que relação existe entre as distâncias do muro ao pé da escada e do chão ao topo da escada? Usando uma tabela como a abaixo, trace o gráfico em uma folha de papel.
A escada forma um ângulo com o chão como mostra a figura, este ângulo varia com o movimento do ponto B. Identifique qual a relação entre o ângulo e a distância do chão ao topo da escada
A escada forma um ângulo com o muro como mostra a figura, este ângulo varia com o movimento do ponto B. Identifique qual a relação entre o ângulo e a distância do chão ao topo da escada.
Se movimentarmos o ponto B' o que acontece com a relação entre as distâncias AO e BO ? Construa novamente uma tabela como a acima.
A partir da situação inicial, vamos construir uma nova situação em que a escada atravesse o muro e repita à esquerda o movimento que já faz à direita. Com base nesta situação qual gráfico obteríamos (BO em função de AO)? Observe na figura esta nova situação!
Considere a seguinte situação: um ponto V qualquer sobre a escada. Descreva a trajetória deste ponto quando movimentamos B. Observe a figura abaixo.

Respostas

ATIVIDADE II: ESTUDO DA ÁREA DE UM RETÂNGULO INSCRITO EM UM QUADRADO
Jorge Batista Melo ^*
Márcio Alexandre Rodrigues^*
Renato Gallicchio Hansen^*

O objetivo desta atividade é estudar a variação da área de um retângulo inscrito em um quadrado. Inicialmente é feito um estudo dos casos em que há um retângulo inscrito num quadrado e em seguida é feito um estudo das áreas. Os principais conceitos envolvidos são: inscrição de quadriláteros, congruência de triângulos, cálculo de áreas, traçado de gráfico de uma função e estudo de máximos e mínimos de uma função.
Esta atividade deve ser desenvolvida com o uso do software Cabri Geometry ou Sketchpad. Para obter o arquivo das atividades feitos no Cabri clique aqui.

Construa um quadrado e um quadrilátero inscrito nesse quadrado.Observe a figura abaixo.

Tente verificar em que condições o quadrilátero é um retângulo.
De quantas formas distintas você consegue verificar a existência de um retângulo?
Faça um estudo, separadamente, de cada caso que você tiver encontrado. O que você observa quanto à área do retângulo inscrito? Quando sua área é máxima e quando ela é mínima? Faça um traçado do gráfico da área do retângulo em relação à posição de um dos seus vértices. Qual o formato do gráfico?
Prove matematicamente quando ocorrem os pontos de área máxima e mínima. Quanto valem estas áreas em relação à área do quadrado?

Sugestão: Se tiveres dificuldade para fazer com que o quadrilátero inscrito seja um retângulo, construa o quadrilátero inscrito fixando retos dois de seus ângulos.

Respostas

ATIVIDADE III: ESTUDANDO FUNÇÕES A PARTIR DE SITUAÇÕES GEOMÉTRICAS
Aurélia Ivonne Leal Ventura ^*
Maria Cristina Alves Pereira ^*
Maria da Graça da Silva Gubert^*

O objetivo desta atividade é o de dar um aprofundamento no estudo de funções e seus respectivos gráfico a partir de situações geométricas. Para isto se fará uso do software Cabri Geometry, onde o aluno, através da exploração das construções geométricas, deverá chegar nas funções correspondentes e construir os seus respectivos gráficos.Arquivo da atividade.

ATIV.1: Determine a área do retângulo inscrito no triângulo em função de sua base. Construa o gráfico desta função e ache seu valor máximo.

Determine as medidas de AB,PQ,QR e a área do retângulo.
Construa a tabela com os valores de PQ, QR e da área do retângulo.
Movimente o ponto P e complete a tabela.
Observe o que acontece com a área quando aumentamos ou diminuimos a medida da base.
Construa o gráfico da área em função da base.
Determine a equação correspondente.

Observando a construção geométrica e o gráfico correspondente responda:

Qual é o tipo de curva?

Qual é a área máxima obtida?

Qual é o domínio e a imagem desta função?

Onde a função é crescente?

Onde a função é decrescente?

Qual é a lei desta função?

ATIV.2: Determine o comprimento do segmento MN como função do comprimento do segmento AM.

Determine as medidas dos segmentos AM, MN ,AB e BC.
Construa a tabela com os valores de AM, MN, AB e BC.
Movimente o ponto M e complete a tabela.
Observe o que acontece com a medida do segmento MN quando aumentamos ou diminuimos o comprimento do segmento AM.
Construa o gráfico da medida MN em função da medida AM.
Determine as equações correspondentes.

OBS: ht é a medida do segmento MN enquanto altura do triângulo. hq é a medida do segmento MN enquanto altura do trapézio.

Observando a construção geométrica e o gráfico correspondente responda:

Qual é o tipo de curva?

Quantas são as curvas?

Qual é a altura máxima do polígono enquanto triângulo?

Qual é a altura do polígono enquanto trapézio?

Qual o domínio e a imagem de cada uma das funções?

As funções são crescentes, decrescentes ou constantes?

Qual é a lei de cada uma das funções?

ATIV.3: Determine a área do polígono como função da medida do segmento AM.

Determine as medidas de AM, St, Sq, ST e AB, onde St é a área do polígono enquanto triângulo, sq é a área do polígono enquanto trapézio e ST é a área do trapézio ABCD.
Construa a tabela com os valores de AM, St, Sq, ST e AB.
Movimente o ponto M e complete a tabela.
Observe o que acontece com a área quando aumentamos ou diminiumos o comprimento do segmento AM.
Construa o gráfico da área do polígono em função da medida do segmento AM.
Observe o gráfico e faça uma comparação com os gráficos das atividades anteriores. Determine as equações correspondentes.

Observando a construção geométrica e o gráfico correspondente responda:

Qual é o tipo de curva?

Qual é a área máxima do polígono enquanto triângulo?

Qual é a área do polígono enquanto trapézio?

Qual o domínio e a imagem de cada uma das funções?

Qual é a lei de cada uma das funções?

ATIV.4: Considere o mecanismo abaixo: O ponto P percorre o lado AD do retângulo ABCD.
Tome as seguintes grandezas:
CD- altura do retângulo
BC- base do retângulo
PD- distância entre P e D
ângulo ABP
Qual a relação entre PB e o ângulo ABP ?

Determine as medidas de PD,BC,CD e do ângulo ABP
Construa a tabela com os valores do ângulo ABP e de PD.
Movimente o ponto P e complete a tabela.
Construa o gráfico da medida do segmento PD em função da variação do ângulo.
Determine a equação correspondente.

Observando a construção geométrica e o gráfico correspondente responda:

Qual é o tipo de curva?

Quando a medida PD é máxima?

Qual o domínio e a imagem de cada uma das funções?

A função é crescente ou decrescente?

Qual é a lei da função?

Obs.: Nas ativs 1, 2 e 3 o aluno pode chegar na lei da função a partir das equações dadas pelo programa. Nesta atividade porém, isto não é possível pois o gráfico da função é um ramo de hipérbole e o software dá a equação da hipérbole que não é uma função. Torna-se então necessária a dedução algébrica da lei da função.

Respostas

^* Atividade desenvolvida pelos licenciandos na disciplina Computador II, 1998/1, sob a orientação da prof. Maria Alice Gravina.