TRIÂNGULO

 
Como transformar um triângulo em um retângulo?
Movimente os pontos vermelhos da figura e observe:
 


Movimentando os pontos azuis, podemos alterar o formato do triângulo.


A Animação Java funciona melhor no navegador Internet Explorer.

 
Intuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o triângulo se encaixam perfeitamente na composição do retângulo.
O critério de construção das peças é:

no triângulo temos a reta HE passando pelos pontos médios dos lados AB e AC, e o segmento AG perpendicular a esta reta. Conforme indicam as cores, usando o trapézio BCEH e os triângulos AHG e EAG construímos retângulo com a mesma área do triângulo.


Como nossa abordagem é dentro do espírito da geometria dedutiva devemos mostrar que as regiões triangulares que completam o retângulo obtido a partir do trapézio são de fato congruentes aos triângulos menores que fazem parte do triângulo dado.
Veja a demonstração:
Sobre o triângulo dado ABC, construímos um retângulo com base igual a um dos lados do triângulo e o lado paralelo à base passando pelos pontos médios de AB e AC. Traçamos o segmento AG perpendicular à HE.
Devemos mostrar que os dois triângulos no triângulo dado são congruentes aos triângulos pontilhados do retângulo. De fato isto acontece:

1.Os triângulos AGH e BDH congruentes pois:
*os lados AH e BH são congruentes já que H é ponto médio de AB
*os ângulos AGH e BDH são retos
*os ângulos AHG e BHD são congruentes já que opostos pelo vértice
2.Com raciocínio análogo mostra-se que também são congruentes os triângulos AGE e CFE.
Assim podemos concluir que as peças que compõem o triângulo ABC se encaixam perfeitamente no retângulo construído.

 
Agora que já está comprovado que podemos transformar um triângulo em um retângulo conservando a área, para deduzir a fórmula da área do triângulo a partir da fórmula da área do retângulo, só precisamos comparar os elementos relacionados:
 
Visto que
Aret = bret . hret
 brer = btri
hret =
Aret = btri .
e como
Aret = Atri
podemos concluir que Atri
é dada pela formula:
Assim, conseguimos "justificar" a origem da fórmula da área de um triângulo partindo da conhecida fórmula da área de um retângulo.

Volta para FÓRMULAS ATRAVÉS E RECORTES