Discussão

Discussão do Modelo

A atividade consiste em dado o modelo completo (com animações, gráficos e tabelas) de um jogador de basquete arremessando uma bola ao cesto, tentar reconstruir este modelo, aceitando-se adaptações que os alunos e o professor julgarem convenientes.

Após a implementação do modelo, o professor poderá levantar questões de natureza matemática tais como:
"Que tipo de trajetória a bola descreve? Mostre porquê. Como é o gráfico das componentes vertical e horizontal da posição da bola em função do tempo? Por quê? Dados a velocidade inicial, o ângulo de arremesso e a aceleração da gravidade, qual é a altura máxima atingida pela bola durante o movimento? Como é o gráfico das componentes horizontal e vertical da velocidade da bola em função do tempo? Por quê?".

Começaremos, então, tentando acertar o arremesso.

A construção do modelo permite que se varie a posição da cesta em relação ao jogador. Os parâmetros envolvidos são a velocidade inicial da bola (

), o ângulo do arremesso (ang) e a aceleração da gravidade (g) que podem ser alterados na janela Condições. A variável independente do modelo é o tempo (t).

Após várias jogadas pode-se então começar a estudar o modelo em si.

O Modelo

Primeiramente, vamos analisar as restrições impostas ao modelo: desconsideraremos qualquer efeito da resistência do ar sobre o movimento; desconsideraremos, também, o caso da bola tocar na tabela e cair na cesta.
A bola será tratada como uma partícula, portanto desconsideraremos possíveis efeitos de vibração, rotação e deformação da mesma. Além disso, o movimento da bola é dado segundo um plano vertical em relação ao solo.

Em Física, aprendemos que o movimento de uma partícula com aceleração constante é descrito pelas equações vetoriais:

	( 1 )
	( 2 )

onde v e r são os vetores velocidade e posição, respectivamente, da partícula no instante t, e são os vetores velocidade inicial e posição inicial da partícula, respectivamente, a é o vetor aceleração (constante) da partícula e t é o tempo.

Dadas as restrições impostas, o modelo trata-se de um lançamento de projétil (no caso a bola de basquete), isto é, um movimento bidimensional de uma partícula sujeito apenas à aceleração da gravidade g (dirigida na vertical com sentido de cima para baixo e com módulo aproximadamente constante de 9,8 m/s²).
Como as equações ( 1 ) e ( 2 ) são vetoriais, podemos decompô-las segundo os eixos X e Y, com o sentido positivo do movimento da esquerda para a direita no eixo X e de baixo para cima no eixo Y. Escolhemos, por comodidade, a origem do referencial como a posição inicial da partícula. Desta escolha resulta que as posições iniciais (no plano cartesiano) são

.
Vejamos como ficam as equações ( 1 ) e ( 2 ) segundo os eixos X e Y:

	Segundo X	Segundo Y
( 1.a )			( 1.b )
( 2.a )			( 2.b )

A aceleração se dá apenas segundo o eixo Y e tem sentido contrário ao convencionado, assim

.
A velocidade no instante

e faz um ângulo

com o sentido positivo do eixo X.
As componentes de

segundo X e Y são

.
Fazendo-se as devidas substituições em (1.a) e (1.b), obtemos

.
Ou seja, a componente horizontal da velocidade é constante ao longo de todo o movimento e a componente vertical varia linearmente com o tempo (função decrescente - por quê?).
O módulo do vetor velocidade em qualquer instante é dado por

e o ângulo que o vetor velocidade faz com a horizontal é

.
As componentes do vetor posição da partícula segundo os eixos X e Y são dadas, respectivamente, por

.
Combinando-se estas duas equações (lembrando que o tempo é elemento comum e igual) obtemos

qué a equação da trajetória do projétil.

É fácil ver que esta equação trata-se da equação de uma parábola (por quê?).