Função Racional Particular

Toda função do tipo y = 1/x ⁿ, com x diferente de zero, é um caso particular de Função Racional. São exemplos dessas funções:

• y = 1/x²
• y = 1/x³
• y = 1/x⁴

O domínio de y = 1/x ⁿ é o conjunto dos reais, menos o zero, pois 1/ 0 não está definido.

A função y = 1/x estudada no capítulo de proporcionalidade inversa também é um caso particular de Função Racional, onde "n" é um número ímpar. Vamos analizá-la:

podemos fazer "x" crescer tanto quanto quisermos (em valor absoluto) e teremos um "y" cada vez menor, aproximando-se mais e mais de zero, sem nunca alcançá-lo; podemos também fazer "x" ter um valor muito próximo de zero (em valor absoluto), obtendo, neste caso, um "y" tão grande quanto quisermos, sem limite.

Para o caso "n" par, temos o gráfico abaixo.

Faça uma análise similar ao caso "n" ímpar.

Vamos olhar agora para o gráfico abaixo, onde aparece a função y = 1/x ⁿ para diferentes valores de "n", e compará-las:

• quanto mais aproximarmos o valor de "x" do infinito (tanto positivo quanto negativo), menor será o valor de "y", aproximando-se mais e mais de zero. Por exemplo:
  - se x = 10000 => y = 1/10000 ⁿ = 0,0000...
  - se x = -10000 => y = -1/10000 ⁿ = -0,0000...
  Ambos aproximan-se de zero.
• quanto mais aproximarmos "x" de zero (tanto pela direita do eixo OY quanto pela esquerda), maior será "y" (em valor absoluto), podendo ser tão grande quanto quisermos.
  - se x = 0,00001 => y = 1/ 0,00001 ⁿ = 10000000...
  - se x = -0,00001 => y = 1/ 0,00001 ⁿ = -10000000...
• no intervalo [0,1] há uma mudança no comportamento da família de funções. Observe no gráfico e acompanhe o raciocínio abaixo:
  - para a função y = 1/x²:
  se x = 1/2 => y = 4
  se x = 2 => y = 1/4
  
  - para a função y = 1/x³:
  se x = 1/2 => y = 8
  se x = 2 => y = 1/8
  
  - para a função y = 1/x⁴:
  se x = 1/2 => y = 16
  se x = 2 => y = 1/16
  

Enfim:

=> Pense um pouco nos intervalos [-1,0] e e tire suas conclusões.