Resposta Problema 3 - Aplicações

Temos de confeccionar uma caixa com o mínimo de material possível, adicionando-se 48 latas cilíndricas. Isto quer dizer que devemos minimizar é o perímetro da base, pois sabemos que a altura é fixa. Por isso vamos levar em conta o desenho ao lado, onde temos:
a = nº de latas no lado x,
b = nº de latas no lado y e
a.b = 48
Sabemos que a área da base da caixa é A = x.y, por outro lado, temos que A = a.d.b.d = a.b.d2 = 48.d2. Igualando as expressões da área, temos:


Agora, vamos ver qual será o perímetro, temos que a base é um retângulo, portanto: P = 2x + 2y, substituindo o y na expressão:

Com essa expressão podemos esboçar o gráfico da função perímetro, lembrando que o diâmetro é uma constante no problema:
Para esboçar o gráfico da função perímetro, devemos observar que ele é uma soma de duas outras funções. Portanto, tendo os "gráficos das parcelas da soma" temos o gráfico perímetro, que está construído ao lado:

No esboço, podemos ver o ponto de mínimo e estimá-lo. Mas para sabermos ao certo qual será esse ponto, devemos verificar quando a inclinação da reta tangente à curva é 0. Para isso vamos calcular qual é a função que nos dá a inclinação da reta tangente:
P(x) = 2x + 96d2x-1
P'(x) = x - 96d2x-2

Agora, só falta ver quando essa função vale 0:
Vamos tentar descobrir quantas latas tem no lado x:
O valor encontrado para a é um absurdo, pois sabemos que a não pode ser um número irracional. Então, como vamos descobrir o valor de a? Podemos observar que a tem de ser divisor de 48 e o mais próximo possível do número encontrado. Então:


Vamos pegar a = 6, que é o divisor de 48 mais próximo do valor encontrado, com isso obtemos:

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